Помогите решить дифференциальное уравнение: y' + y = e^(-x)

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения y' + y = e^(-x) математика 11 класс Дифференциальные уравнения помощь по математике Новый

Решим данное линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

Шаг 1: Определим общий вид уравнения.

Уравнение имеет вид:

y' + p(x)y = q(x),

где p(x) = 1 и q(x) = e^(-x).

Шаг 2: Найдем интегрирующий множитель.

Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:

μ(x) = e^(∫p(x)dx).

В нашем случае:

μ(x) = e^(∫1dx) = e^x.

Шаг 3: Умножим уравнение на интегрирующий множитель.

Умножим все члены уравнения на e^x:

e^x * y' + e^x * y = e^x * e^(-x).

Это упрощается до:

e^x * y' + e^x * y = 1.

Шаг 4: Приведем левую часть уравнения к производной.

Левую часть можно записать как производную:

(e^x * y)' = 1.

Шаг 5: Интегрируем обе стороны уравнения.

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(e^x * y)' dx = ∫1 dx.

Получаем:

e^x * y = x + C,

где C - произвольная константа интегрирования.

Шаг 6: Найдем y.

Теперь выразим y:

y = e^(-x) * (x + C).

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения:

y = e^(-x) * (x + C),

где C - произвольная константа.