Помогите решить неопределенный интеграл tg^4(x)dx?

Математика 11 класс Неопределённые интегралы неопределенный интеграл решение интеграла tg^4(x) математика 11 класс интегралы методы интегрирования Новый

Для решения неопределенного интеграла ∫ tg^4(x) dx мы можем воспользоваться некоторыми тригонометрическими преобразованиями и свойствами интегралов.

Первым шагом мы можем выразить tg^4(x) через tg^2(x):

• tg^4(x) = (tg^2(x))^2.

Также помним, что tg^2(x) = sec^2(x) - 1. Подставим это выражение в интеграл:

• tg^4(x) = (sec^2(x) - 1)^2.

Теперь раскроем скобки:

• (sec^2(x) - 1)^2 = sec^4(x) - 2sec^2(x) + 1.

Теперь мы можем записать интеграл следующим образом:

∫ tg^4(x) dx = ∫ (sec^4(x) - 2sec^2(x) + 1) dx

Теперь можем разбить интеграл на три отдельных интеграла:

∫ tg^4(x) dx = ∫ sec^4(x) dx - 2∫ sec^2(x) dx + ∫ 1 dx

Теперь решим каждый из этих интегралов по отдельности:

1. ∫ sec^2(x) dx = tg(x) + C. Это известный интеграл.
2. ∫ sec^4(x) dx. Для его нахождения воспользуемся формулой: ∫ sec^4(x) dx = (1/3)tg^3(x) + tg(x) + C. Это также известный результат.
3. ∫ 1 dx = x + C.

Теперь подставим все найденные интегралы обратно в наше выражение:

∫ tg^4(x) dx = (1/3)tg^3(x) + tg(x) - 2tg(x) + x + C

Упрощая, получаем:

∫ tg^4(x) dx = (1/3)tg^3(x) - tg(x) + x + C

Таким образом, мы нашли неопределенный интеграл tg^4(x):

∫ tg^4(x) dx = (1/3)tg^3(x) - tg(x) + x + C