Для решения неравенства lg^4(x) - 4lg^3(x) + 5lg^2(x) - 2lg(x) >= 0, давайте сначала сделаем замену переменной. Обозначим:

Тогда неравенство можно переписать в виде:

Теперь мы можем рассмотреть это как многочлен и решить его. Начнем с нахождения корней этого многочлена. Для этого можно использовать метод деления или подбора:

1. Проверим, есть ли у многочлена рациональные корни, используя теорему о рациональных корнях. Проверим, например, y = 1:
2. Подставим y = 1:

Таким образом, y = 1 является корнем. Теперь мы можем разделить многочлен на (y - 1):

Выполним деление:

Теперь нам нужно решить кубическое уравнение y^3 - 3y^2 + 2y - 2 = 0. Проверим, есть ли у него рациональные корни:

1. Проверим y = 2:

2. Проверим y = 0:

3. Проверим y = 3:

4. Проверим y = 1.5:

Поскольку у нас нет простых корней, воспользуемся методом численного анализа или графическим методом для нахождения корней.

После анализа, можно выяснить, что у кубического многочлена есть один корень в пределах (1, 2). Обозначим его как y1.

Теперь у нас есть два корня: y = 1 и y = y1. Мы можем записать многочлен в виде:

Теперь нам нужно определить знаки многочлена на интервалах, которые получаются от корней:

• (-∞, 1)
• (1, y1)
• (y1, +∞)

После анализа знаков, мы определим, на каких интервалах неравенство выполняется:

Теперь, возвращаясь к переменной x, помним, что y = lg(x). Это означает:

• lg(x) <= 1, что дает x <= 10
• lg(x) >= y1, что дает x >= 10^(y1)

Таким образом, в конечном итоге, мы получаем ответ:

Это и есть решение нашего неравенства.