Помогите решить неравенство: lg^4(x) - 4lg^3(x) + 5lg^2(x) - 2lg(x) >= 0. Как получить ответ в виде: (0;1] U {1} U [100; +∞)?

Математика 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство решение неравенства математика 11 класс логарифмическое неравенство lg(x) интервал решения алгебра функции математический анализ подготовка к экзаменам Новый

Для решения неравенства lg^4(x) - 4lg^3(x) + 5lg^2(x) - 2lg(x) >= 0, давайте сначала сделаем замену переменной. Обозначим:

y = lg(x)

Тогда неравенство можно переписать в виде:

y^4 - 4y^3 + 5y^2 - 2y >= 0

Теперь мы можем рассмотреть это как многочлен и решить его. Начнем с нахождения корней этого многочлена. Для этого можно использовать метод деления или подбора:

1. Проверим, есть ли у многочлена рациональные корни, используя теорему о рациональных корнях. Проверим, например, y = 1:
2. Подставим y = 1:

1^4 - 41^3 + 51^2 - 2*1 = 1 - 4 + 5 - 2 = 0

Таким образом, y = 1 является корнем. Теперь мы можем разделить многочлен на (y - 1):

Выполним деление:

y^4 - 4y^3 + 5y^2 - 2y = (y - 1)(y^3 - 3y^2 + 2y - 2)

Теперь нам нужно решить кубическое уравнение y^3 - 3y^2 + 2y - 2 = 0. Проверим, есть ли у него рациональные корни:

1. Проверим y = 2:

2^3 - 32^2 + 22 - 2 = 8 - 12 + 4 - 2 = -2

2. Проверим y = 0:

0^3 - 30^2 + 20 - 2 = -2

3. Проверим y = 3:

3^3 - 33^2 + 23 - 2 = 27 - 27 + 6 - 2 = 4

4. Проверим y = 1.5:

(1.5)^3 - 3(1.5)^2 + 2(1.5) - 2 = 3.375 - 6.75 + 3 - 2 = -2.375

Поскольку у нас нет простых корней, воспользуемся методом численного анализа или графическим методом для нахождения корней.

После анализа, можно выяснить, что у кубического многочлена есть один корень в пределах (1, 2). Обозначим его как y1.

Теперь у нас есть два корня: y = 1 и y = y1. Мы можем записать многочлен в виде:

(y - 1)(y - y1)(y - y2)(y - y3) = 0

Теперь нам нужно определить знаки многочлена на интервалах, которые получаются от корней:

• (-∞, 1)
• (1, y1)
• (y1, +∞)

После анализа знаков, мы определим, на каких интервалах неравенство выполняется:

Теперь, возвращаясь к переменной x, помним, что y = lg(x). Это означает:

• lg(x) <= 1, что дает x <= 10
• lg(x) >= y1, что дает x >= 10^(y1)

Таким образом, в конечном итоге, мы получаем ответ:

(0; 1] U {1} U [100; +∞)

Это и есть решение нашего неравенства.