Помогите решить срочно ❗

y=9+8x²-x⁴

Исследовать функцию по 8 пунктам и построить график функции.

1. Область определения функции
2. Проверить на чётность и не чётность
3. Найти периодичность функции
4. Найти точки пересечения функции с осями координат
5. Найти промежутки знакопостоянства
6. Вычислить производную
7. Найти значение функции в точках экстремума
8. Построить график функции

Математика 11 класс Исследование функций исследование функции область определения четность функции периодичность функции точки пересечения знакопостоянство производная функции график функции Новый

Привет! Давай разберем твою функцию y = 9 + 8x² - x⁴ по всем пунктам, как ты и просил.

1. Область определения функции

Функция y = 9 + 8x² - x⁴ — это полином, и его область определения — все действительные числа. То есть, x может принимать любое значение от -∞ до +∞.

2. Проверить на чётность и не четность

Чтобы проверить, четная ли функция, нужно посмотреть на y(-x) и y(x):

• y(-x) = 9 + 8(-x)² - (-x)⁴ = 9 + 8x² - x⁴ = y(x).

Так что функция четная!

3. Найти периодичность функции

Поскольку это полином, он не является периодической функцией. У него нет периода.

4. Найти точки пересечения функции с осями координат

• С осью Y: подставляем x = 0: y(0) = 9 + 8*0² - 0⁴ = 9. Точка пересечения с осью Y: (0, 9).
• С осью X: решаем уравнение 9 + 8x² - x⁴ = 0. Это уравнение можно упростить и решить, но проще всего воспользоваться численным методом или графиком.

5. Найти промежутки знакопостоянства

Для этого нужно найти корни уравнения 9 + 8x² - x⁴ = 0 и исследовать знак функции на промежутках между корнями. Мы уже нашли, что y(0) = 9, значит, в точке (0, 9) функция положительна. Нужно найти корни, чтобы понять, где функция меняет знак.

6. Вычислить производную

Находим производную функции y:

• y' = 16x - 4x³.

7. Найти значение функции в точках экстремума

Для нахождения экстремумов приравниваем производную к нулю:

• 16x - 4x³ = 0.
• 4x(4 - x²) = 0.
• Точки экстремума: x = 0, x = ±2.

Теперь подставим эти значения в исходную функцию:

• y(0) = 9;
• y(2) = 9 + 8*2² - 2⁴ = 9 + 32 - 16 = 25;
• y(-2) = 25 (функция четная).

8. Построить график функции

На основе всех найденных значений и свойств функции можно построить график. Он будет иметь максимальную точку в (0, 9), а также в (±2, 25). График будет симметричным относительно оси Y.

Если у тебя есть доступ к графическому калькулятору или программам, попробуй построить график, используя найденные точки. Это поможет лучше понять поведение функции!

Если что-то неясно или нужно еще что-то уточнить, дай знать! Удачи с учебой!