Помогите решить задание "Решение задач комбинаторики". На вечере присутствует 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танцев?

Математика 11 класс Комбинаторика математика 11 класс комбинаторика задачи на выбор пары для танцев решение задач комбинаторики количество способов выбора Новый

Давайте решим задачу о выборе 4 пар для танцев на вечере, где присутствует 12 девушек и 15 юношей.

Первый шаг — это выбрать 4 девушки из 12. Мы используем формулу для сочетаний, которая обозначается как C(n, k), где n — общее количество элементов, а k — количество выбираемых элементов. В нашем случае это будет C(12, 4). Формула для сочетаний выглядит так:

• C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Подставим наши значения:

• C(12, 4) = 12! / (4! * (12 - 4)!) = 12! / (4! * 8!)

Теперь найдем числитель и знаменатель. Числитель 12! можно разложить как 12 * 11 * 10 * 9 * 8!, а 8! в знаменателе сократится:

• C(12, 4) = (12 * 11 * 10 * 9) / (4 * 3 * 2 * 1) = 11880 / 24 = 495

Таким образом, мы можем выбрать 4 девушки 495 способами.

Теперь давайте выберем 4 юношей из 15. Мы также используем формулу сочетаний:

• C(15, 4) = 15! / (4! * (15 - 4)!) = 15! / (4! * 11!)

Аналогично, числитель 15! можно разложить как 15 * 14 * 13 * 12 * 11!, и 11! сократится в знаменателе:

• C(15, 4) = (15 * 14 * 13 * 12) / (4 * 3 * 2 * 1) = 32760 / 24 = 1365

Итак, 4 юношей можно выбрать 1365 способами.

Теперь, когда мы выбрали 4 девушек и 4 юношей, нам нужно сопоставить их в пары. Каждую девушку можно сопоставить с любым юношей, и это можно сделать 4! способами, так как у нас 4 девушек и 4 юноши. 4! равно 24.

Теперь мы можем найти общее количество способов выбрать 4 пары для танцев:

• Общее количество способов = C(12, 4) * C(15, 4) * 4!
• Общее количество способов = 495 * 1365 * 24

Теперь посчитаем это произведение:

• 495 * 1365 = 676575
• 676575 * 24 = 16216200

Таким образом, общее количество способов выбрать 4 пары для танцев составляет 16216200.