Давайте исследуем функцию f(x) = -x² + 5x + 4 с помощью производной и построим ее график.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Для нахождения производной функции f(x) = -x² + 5x + 4, воспользуемся правилами дифференцирования:

• Производная константы равна 0.
• Производная x^n равна nx^(n-1).

Таким образом, производная будет:

f'(x) = -2x + 5.

Шаг 2: Найдем критические точки.

Критические точки находятся, когда производная равна нулю:

-2x + 5 = 0.

Решим это уравнение:

• -2x = -5;
• x = 5/2 = 2.5.

Шаг 3: Определим интервалы возрастания и убывания функции.

Теперь рассмотрим знак производной f'(x) = -2x + 5:

• Если x < 2.5, то f'(x) > 0 (функция возрастает).
• Если x > 2.5, то f'(x) < 0 (функция убывает).

Шаг 4: Найдем значение функции в критической точке.

Теперь подставим x = 2.5 в исходную функцию, чтобы найти значение функции в этой точке:

f(2.5) = - (2.5)² + 5 * (2.5) + 4 = -6.25 + 12.5 + 4 = 10.25.

Шаг 5: Определим характер критической точки.

Поскольку функция возрастает до x = 2.5 и убывает после, это означает, что в точке (2.5, 10.25) находится максимум функции.

Шаг 6: Построим график функции.

Теперь мы можем построить график функции. У нас есть следующие ключевые точки:

• Максимум в точке (2.5, 10.25).

Также мы можем найти значения функции в других точках, например:

• f(0) = 4;
• f(1) = 10;
• f(3) = 10;
• f(4) = 8;
• f(5) = 4.

Собрав все эти данные, мы можем нарисовать график функции. График будет иметь форму параболы, открытой вниз, с максимумом в точке (2.5, 10.25).

Если у вас есть доступ к графическому редактору или калькулятору, вы можете использовать эти точки для построения графика. Также можно использовать онлайн-сервисы для построения графиков, введя уравнение функции.