При каких значениях a уравнение |x^2-6*x|=a имеет ровно три корня?

Математика 11 класс Уравнения с модулями уравнение корни значение a математика 11 класс квадратное уравнение решение уравнения модуль три корня Новый

Чтобы найти значения a, при которых уравнение |x^2 - 6x| = a имеет ровно три корня, начнем с анализа функции f(x) = x^2 - 6x.

1. Найдем корни уравнения x^2 - 6x = 0:

• Факторизуем: x(x - 6) = 0.
• Корни: x = 0 и x = 6.

2. Теперь определим, как выглядит график функции f(x). Это - парабола, открытая вверх, с вершиной в точке:

• Координаты вершины: x = -b/(2a) = 6/2 = 3.
• f(3) = 3^2 - 6*3 = 9 - 18 = -9.

Таким образом, парабола пересекает ось x в точках (0, 0) и (6, 0), а также достигает минимального значения -9 в точке x = 3.

3. Теперь рассмотрим модуль: |x^2 - 6x|. Эта функция будет равна:

• x^2 - 6x, если x <= 0 или x >= 6;
• -(x^2 - 6x), если 0 < x < 6.

4. Найдем значения a, при которых уравнение |x^2 - 6x| = a имеет ровно три корня:

• График функции |x^2 - 6x| будет выглядеть как парабола, отраженная относительно оси x в области, где x^2 - 6x < 0.
• У нас будет два "плеча" параболы в точках (0, 0) и (6, 0), и одно "плечо" в области между ними, отраженное.

5. Для того чтобы уравнение |x^2 - 6x| = a имело ровно три корня, необходимо, чтобы горизонтальная линия y = a пересекала график функции в одной из точек (0, 0) или (6, 0) и в одной точке между ними.

6. Это возможно, если:

• a = 0, что дает два корня (x = 0 и x = 6);
• -9 < a < 0, что дает три корня (один корень между 0 и 6 и два корня на границах);

Таким образом, уравнение |x^2 - 6x| = a имеет ровно три корня при следующих значениях a:

-9 < a < 0.