Чтобы показать, что векторы a и c являются базисом, нам нужно проверить, линейно ли они независимы. Векторы линейно независимы, если не существует ненулевых чисел k1 и k2, таких что:

k1 * a + k2 * c = 0

В данном случае:

• a = (1; 3; 5)
• c = (5; 7; 9)

Запишем уравнение:

k1 * (1; 3; 5) + k2 * (5; 7; 9) = (0; 0; 0)

Это дает нам систему уравнений:

1. k1 + 5k2 = 0
2. 3k1 + 7k2 = 0
3. 5k1 + 9k2 = 0

Теперь решим эту систему. Из первого уравнения выразим k1:

k1 = -5k2

Подставим это значение во второе уравнение:

3(-5k2) + 7k2 = 0

-15k2 + 7k2 = 0

-8k2 = 0

Таким образом, k2 = 0. Подставляя k2 = 0 в первое уравнение, мы получаем:

k1 = -5 * 0 = 0

Поскольку единственное решение для k1 и k2 – это k1 = 0 и k2 = 0, векторы a и c линейно независимы и, следовательно, образуют базис.

Теперь разложим вектор d по базису a, b, c. Вектор d = (0; 4; 16) можно представить как линейную комбинацию векторов a, b и c:

d = m1 * a + m2 * b + m3 * c

Где m1, m2 и m3 – это коэффициенты, которые нужно найти. Запишем это уравнение в виде:

(0; 4; 16) = m1 * (1; 3; 5) + m2 * (0; 2; 0) + m3 * (5; 7; 9)

Это дает нам систему уравнений:

1. m1 + 5m3 = 0
2. 3m1 + 2m2 + 7m3 = 4
3. 5m1 + 9m3 = 16

Теперь решим эту систему. Из первого уравнения выразим m1:

m1 = -5m3

Подставим это значение во второе и третье уравнения:

Во втором уравнении:

3(-5m3) + 2m2 + 7m3 = 4

-15m3 + 2m2 + 7m3 = 4

2m2 - 8m3 = 4

2m2 = 4 + 8m3

m2 = 2 + 4m3

В третьем уравнении:

5(-5m3) + 9m3 = 16

-25m3 + 9m3 = 16

-16m3 = 16

m3 = -1

Теперь подставим значение m3 в выражение для m1 и m2:

m1 = -5 * (-1) = 5

m2 = 2 + 4 * (-1) = 2 - 4 = -2

Таким образом, мы нашли коэффициенты:

• m1 = 5
• m2 = -2
• m3 = -1

Итак, вектор d можно представить как:

d = 5 * a - 2 * b - 1 * c

Таким образом, векторы a и c являются базисом, и вектор d разлагается по этому базису как 5a - 2b - 1c.