Давайте проведем полное исследование функции y = (1 - 2x³) / x². Начнем с определения области определения функции.

Функция определена для всех x, кроме тех значений, при которых знаменатель равен нулю. Знаменатель x² равен нулю, когда x = 0. Таким образом, область определения функции:

• x ∈ R, x ≠ 0

Теперь найдем пределы функции при x стремящемся к нулю и бесконечности.

При подстановке x = 0 в функцию, мы получаем неопределенность 0/0. Используем правило Лопиталя:

• Находим производную числителя: d(1 - 2x³)/dx = -6x²
• Находим производную знаменателя: d(x²)/dx = 2x
• Теперь берем предел: lim (x → 0) (-6x²) / (2x) = lim (x → 0) (-3x) = 0.

При x → ±∞, основной вклад в функцию будет давать член -2x³ в числителе. Таким образом:

• lim (x → ±∞) y = lim (x → ±∞) (-2x³ / x²) = lim (x → ±∞) (-2x) = -∞.

Теперь найдем производную функции y для определения критических точек и поведения функции.

• Используем правило деления: y' = (u/v)' = (u'v - uv') / v², где u = 1 - 2x³, v = x².
• u' = -6x², v' = 2x.
• Теперь подставим в формулу: y' = [(-6x²)(x²) - (1 - 2x³)(2x)] / (x²)².
• Упростим: y' = [-6x^4 + 2x(1 - 2x³)] / x^4 = [-6x^4 + 2x - 4x^4] / x^4 = [-10x^4 + 2x] / x^4.
• y' = (2 - 10x³) / x².

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

• 2 - 10x³ = 0
• 10x³ = 2
• x³ = 1/5
• x = (1/5)^(1/3).

Теперь определим, где производная положительна, а где отрицательна:

• y' > 0, когда x < (1/5)^(1/3); y' < 0, когда x > (1/5)^(1/3).

Для определения выпуклости функции найдем вторую производную:

• y'' = (d/dx)(2 - 10x³) / x² = (0 - 30x²) / x² + (2 - 10x³)(-2/x³).
• y'' = -30/x² + (2 - 10x³)(-2/x³).

Теперь мы можем определить, что у нас есть минимум в точке x = (1/5)^(1/3). Проверим значение функции в этой точке:

• y((1/5)^(1/3)) = (1 - 2((1/5)^(1/3))^3) / ((1/5)^(1/3))^2 = (1 - 2/5) / (1/5)^(2/3).

Теперь, когда мы собрали всю информацию, мы можем построить график функции. У нас есть:

• Область определения: x ∈ R, x ≠ 0
• Пределы: при x → 0, y → 0; при x → ±∞, y → -∞.
• Критическая точка: x = (1/5)^(1/3).
• Минимум в этой точке.

На графике будет видно, что функция имеет вертикальную асимптоту при x = 0 и стремится к -∞ при больших значениях x.