Для того чтобы проверить, является ли прямая y = -9x + 13 касательной к параболе y = -x^2 - 3x + 4, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Запишем уравнение параболы:

Парабола задана уравнением y = -x^2 - 3x + 4.

2. Найдем точки пересечения прямой и параболы:

Для этого приравняем уравнения:

-9x + 13 = -x^2 - 3x + 4.

3. Переносим все члены в одну сторону:

Получаем:

0 = -x^2 - 3x + 4 + 9x - 13.

Упрощаем уравнение:

0 = -x^2 + 6x - 9.

Или:

x^2 - 6x + 9 = 0.

4. Решим полученное квадратное уравнение:

Это уравнение можно факторизовать:

(x - 3)(x - 3) = 0.

Таким образом, мы получаем:

x = 3 (двойной корень).

5. Теперь найдем соответствующее значение y:

Подставим x = 3 в уравнение прямой:

y = -9(3) + 13 = -27 + 13 = -14.

Или подставим x = 3 в уравнение параболы:

y = -(3)^2 - 3(3) + 4 = -9 - 9 + 4 = -14.

6. Теперь проверим, является ли прямая касательной:

Чтобы прямая была касательной к параболе, необходимо, чтобы у них была только одна общая точка (что мы уже подтвердили) и чтобы угловые коэффициенты в этой точке совпадали.

7. Найдем производную параболы:

Производная y = -x^2 - 3x + 4 равна:

y' = -2x - 3.

Подставим x = 3:

y' = -2(3) - 3 = -6 - 3 = -9.

8. Сравним угловые коэффициенты:

Угловой коэффициент прямой равен -9, и угловой коэффициент параболы в точке x = 3 также равен -9.

Вывод: Поскольку прямая y = -9x + 13 и парабола y = -x^2 - 3x + 4 имеют одну общую точку и совпадающие угловые коэффициенты в этой точке, мы можем заключить, что прямая является касательной к параболе.