Для решения неравенства 4 sin(x/4) ≥ 2, начнем с преобразования неравенства.

Сначала упростим его:

• Разделим обе стороны неравенства на 4: sin(x/4) ≥ 0.5.

Теперь нам нужно найти значения x, при которых sin(x/4) ≥ 0.5. Для этого вспомним, что синус положителен в первой и второй четверти единичной окружности.

Рассмотрим, при каких углах синус равен 0.5:

• sin(30°) = 0.5, что соответствует углу π/6 радиан.
• sin(150°) = 0.5, что соответствует углу 5π/6 радиан.

Теперь, поскольку мы рассматриваем sin(x/4), нам нужно решить уравнения:

• x/4 = π/6 + 2kπ, где k – любое целое число.
• x/4 = 5π/6 + 2kπ, где k – любое целое число.

Теперь умножим каждое уравнение на 4, чтобы выразить x:

• x = 4(π/6) + 8kπ = (2π/3) + 8kπ.
• x = 4(5π/6) + 8kπ = (10π/3) + 8kπ.

Теперь нам нужно определить, в каких интервалах синус будет больше или равен 0.5. Это происходит в следующих интервалах:

• Для первого решения: x/4 находится в диапазоне от π/6 до 5π/6.
• Переведем это в x: от 4(π/6) до 4(5π/6), то есть от (2π/3) до (10π/3).

Таким образом, мы можем записать решение неравенства:

• x ∈ [(2π/3) + 8kπ, (10π/3) + 8kπ], где k – любое целое число.

Это и есть решение нашего неравенства. Мы нашли все значения x, для которых 4 sin(x/4) ≥ 2, используя единичную окружность и свойства функции синуса.