Похожие вопросы
2025-12-02 08:03:20
Решите неравенство, используя формулы двойного аргумента:
cos²x - sin²x > √2/2
Математика 11 класс Неравенства тригонометрических функций неравенство математика косинус синус формулы двойного аргумента решение неравенства Тригонометрия
2025-12-02 08:03:34
Для решения неравенства cos²x - sin²x > √2/2, мы можем использовать формулы двойного аргумента. Напомним, что выражение cos²x - sin²x можно представить как cos(2x) по формуле:
- cos²x - sin²x = cos(2x).
Таким образом, наше неравенство можно переписать в следующем виде:
cos(2x) > √2/2.
Теперь давайте вспомним, когда косинус принимает значения больше √2/2. Это происходит в определенных интервалах. Мы знаем, что:
- cos(θ) = √2/2, когда θ = π/4 + 2kπ и θ = -π/4 + 2kπ, где k – целое число.
Таким образом, cos(2x) > √2/2 будет выполняться в интервалах:
- 2x < π/4 + 2kπ и 2x > -π/4 + 2kπ, что соответствует:
- 2x ∈ (−π/4 + 2kπ, π/4 + 2kπ).
Теперь давайте разделим все неравенства на 2, чтобы найти x:
- x ∈ (−π/8 + kπ, π/8 + kπ), где k – целое число.
Таким образом, решение нашего неравенства cos²x - sin²x > √2/2 будет выглядеть следующим образом:
x ∈ (−π/8 + kπ, π/8 + kπ), где k – целое число.
Это означает, что для любого целого числа k мы получаем интервал, в котором выполняется данное неравенство.