Для решения неравенства lg(x^2 + 3x + 2) < 1, начнем с того, что логарифм определен только для положительных аргументов. Поэтому сначала найдем, при каких значениях x выражение x^2 + 3x + 2 будет положительным.

Рассмотрим квадратный трехчлен x^2 + 3x + 2. Мы можем разложить его на множители:

x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

Теперь найдем корни этого уравнения, приравняв его к нулю:

(x + 1)(x + 2) = 0

Корни будут:

• x = -1
• x = -2

Теперь определим интервалы, в которых выражение (x + 1)(x + 2) положительно:

Рассмотрим интервалы, которые определяются корнями:

• (-∞, -2)
• (-2, -1)
• (-1, +∞)

Теперь проверим знак выражения (x + 1)(x + 2) на каждом из этих интервалов:

1. Для x < -2 (например, x = -3): (−3 + 1)(−3 + 2) = (−2)(−1) > 0
2. Для -2 < x < -1 (например, x = -1.5): (−1.5 + 1)(−1.5 + 2) = (−0.5)(0.5) < 0
3. Для x > -1 (например, x = 0): (0 + 1)(0 + 2) = (1)(2) > 0

Таким образом, выражение x^2 + 3x + 2 положительно на интервалах:

• (-∞, -2)
• (-1, +∞)

Теперь вернемся к нашему неравенству lg(x^2 + 3x + 2) < 1. Логарифм меньше 1, когда его аргумент меньше 10:

x^2 + 3x + 2 < 10

Перепишем это неравенство:

x^2 + 3x - 8 < 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

x^2 + 3x - 8 = 0

Используем формулу для нахождения корней:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 3, c = -8:

Дискриминант D = 3^2 - 4 * 1 * (-8) = 9 + 32 = 41

Корни будут:

x1 = (-3 + √41) / 2

x2 = (-3 - √41) / 2

Теперь определим интервалы, где x^2 + 3x - 8 < 0. Для этого проверим знаки на интервалах, определенных корнями:

• (-∞, x2)
• (x2, x1)
• (x1, +∞)

В результате мы можем сказать, что:

x^2 + 3x - 8 < 0 на интервале (x2, x1).

Теперь объединим условия:

Не забываем, что x^2 + 3x + 2 > 0 на интервалах (-∞, -2) и (-1, +∞). Следовательно, нам нужно взять пересечение:

• (-∞, -2) ∩ (x2, x1) = (-∞, -2)
• (-1, +∞) ∩ (x2, x1) = (x2, x1)

Итак, окончательный ответ: x принадлежит интервалам:

(-∞, -2) ∪ (x2, x1)