Решите пошагово неопределенный интеграл:

∫cos3x*cosxdx

P.S. Цифра 3 не является степенью.

Математика 11 класс Неопределённые интегралы неопределенный интеграл интеграл cos3x интеграл cosx решение интеграла шаги решения интеграла Новый

Для решения интеграла ∫cos(3x) * cos(x) dx мы воспользуемся формулой произведения косинусов, которая позволяет преобразовать произведение косинусов в сумму. Формула выглядит следующим образом:

cos(A) * cos(B) = 0.5 * (cos(A + B) + cos(A - B))

В нашем случае A = 3x, B = x. Подставим эти значения в формулу:

cos(3x) * cos(x) = 0.5 * (cos(3x + x) + cos(3x - x)

Теперь упростим выражение:

• 3x + x = 4x
• 3x - x = 2x

Таким образом, мы получаем:

cos(3x) * cos(x) = 0.5 * (cos(4x) + cos(2x))

Теперь подставим это выражение в наш интеграл:

∫cos(3x) * cos(x) dx = ∫0.5 * (cos(4x) + cos(2x)) dx

Мы можем вынести 0.5 за знак интеграла:

0.5 * ∫(cos(4x) + cos(2x)) dx

Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое отдельно:

∫cos(4x) dx и ∫cos(2x) dx.

Интеграл от косинуса имеет следующий вид:

∫cos(kx) dx = (1/k) * sin(kx) + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Применим это к нашим интегралам:

1. ∫cos(4x) dx = (1/4) * sin(4x) + C1
2. ∫cos(2x) dx = (1/2) * sin(2x) + C2

Теперь подставим результаты обратно в наш интеграл:

0.5 * [(1/4) * sin(4x) + (1/2) * sin(2x)] + C

Упростим это выражение:

0.5 * (1/4) * sin(4x) + 0.5 * (1/2) * sin(2x) + C

Это равняется:

(1/8) * sin(4x) + (1/4) * sin(2x) + C

Таким образом, окончательный ответ на интеграл:

∫cos(3x) * cos(x) dx = (1/8) * sin(4x) + (1/4) * sin(2x) + C