Решите, пожалуйста, следующие дифференциальные уравнения:

1. xdx + ydy = 0
2. dy/dx + 2xy = 0

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения решение уравнений математика 11 класс xdx + ydy = 0 dy/dx + 2xy = 0 Новый

Давайте решим оба дифференциальных уравнения по очереди.

1. Уравнение: xdx + ydy = 0

Для начала мы можем переписать уравнение в более удобной форме:

• Соберем все термины с dx и dy:
• x dx + y dy = 0

Теперь разделим переменные:

• dx/x = -dy/y

Теперь интегрируем обе стороны:

• ∫(1/x) dx = -∫(1/y) dy

Решая интегралы, мы получаем:

• ln|x| = -ln|y| + C, где C - константа интегрирования.

Теперь мы можем выразить y через x:

• ln|x| + ln|y| = C
• ln(|xy|) = C
• |xy| = e^C

Итак, общее решение уравнения:

|xy| = K, где K = e^C - произвольная положительная константа.

2. Уравнение: dy/dx + 2xy = 0

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы можем решить его методом разделения переменных:

• dy/dx = -2xy

Теперь разделим переменные:

• dy/y = -2x dx

Интегрируем обе стороны:

• ∫(1/y) dy = -2∫x dx

Решая интегралы, получаем:

• ln|y| = -x^2 + C

Теперь выразим y через x:

• |y| = e^(-x^2 + C) = e^C * e^(-x^2)

Обозначим K = e^C (где K - произвольная положительная константа), тогда:

y = K * e^(-x^2)

Таким образом, общее решение второго уравнения:

y = K * e^(-x^2), где K - произвольная константа.

В итоге, мы получили решения для обоих уравнений:

• Для первого уравнения: |xy| = K
• Для второго уравнения: y = K * e^(-x^2)