Давайте решим уравнение 3√(x+3) - √(x-2) = 7 шаг за шагом.

Шаг 1: Изолируем один из корней.

Переносим √(x-2) на правую сторону уравнения:

3√(x+3) = 7 + √(x-2)

Шаг 2: Возводим обе стороны в квадрат.

Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны в квадрат:

(3√(x+3))^2 = (7 + √(x-2))^2

Слева: 9(x + 3) = 9x + 27.

Справа: (7 + √(x-2))^2 = 49 + 14√(x-2) + (x-2) = x + 47 + 14√(x-2).

Теперь у нас получается:

9x + 27 = x + 47 + 14√(x-2).

Шаг 3: Переносим все известные члены в одну сторону.

Переносим x и 47 на левую сторону:

9x - x + 27 - 47 = 14√(x-2)

8x - 20 = 14√(x-2).

Шаг 4: Изолируем корень.

Теперь изолируем корень:

14√(x-2) = 8x - 20.

Шаг 5: Возводим обе стороны в квадрат еще раз.

(14√(x-2))^2 = (8x - 20)^2.

Слева: 196(x - 2) = 196x - 392.

Справа: (8x - 20)^2 = 64x^2 - 320x + 400.

Теперь у нас получается:

196x - 392 = 64x^2 - 320x + 400.

Шаг 6: Приводим все к одному уравнению.

Переносим все в одну сторону:

0 = 64x^2 - 320x + 400 - 196x + 392.

0 = 64x^2 - 516x + 792.

Шаг 7: Упрощаем уравнение.

Делим все коэффициенты на 4:

0 = 16x^2 - 129x + 198.

Шаг 8: Находим корни уравнения с помощью дискриминанта.

D = b^2 - 4ac = (-129)^2 - 4 * 16 * 198.

D = 16641 - 12672 = 3969.

Теперь находим корни:

x1,2 = (129 ± √3969) / (2 * 16).

√3969 = 63, поэтому:

x1 = (129 + 63) / 32 = 192 / 32 = 6.

x2 = (129 - 63) / 32 = 66 / 32 = 2.0625.

Шаг 9: Проверяем корни.

Подставим x1 = 6 в исходное уравнение:

3√(6 + 3) - √(6 - 2) = 3√9 - √4 = 9 - 2 = 7. (корень верный)

Теперь проверим x2 = 2.0625:

3√(2.0625 + 3) - √(2.0625 - 2) = 3√5.0625 - √0.0625.

3√5.0625 ≈ 6.25, √0.0625 = 0.25, 6.25 - 0.25 = 6. (корень не верный)

Ответ: Корень уравнения: x = 6.