Решите уравнение: log^2 2(1-x) - 2log2(1-x) = 3, пожалуйста.

Математика 11 класс Логарифмы Логарифмическое уравнение решение уравнения математика 11 класс log^2 2 log2(1-x) Новый

Давайте решим уравнение:

log^2 2(1-x) - 2log2(1-x) = 3

Для начала, обозначим y = log2(1-x). Это позволит нам упростить уравнение. Подставим y в уравнение:

y^2 - 2y = 3

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

y^2 - 2y - 3 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = -2
• c = -3

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

y = (2 ± √((-2)^2 - 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1)

Сначала вычислим дискриминант:

(-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

y = (2 ± √16) / 2

Так как √16 = 4, у нас получится:

y = (2 ± 4) / 2

Теперь мы можем найти два корня:

• y1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
• y2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь у нас есть два значения y. Вспомним, что y = log2(1-x). Теперь найдем x для каждого значения y:

1. Для y1 = 3:

log2(1-x) = 3

Теперь переведем это в экспоненциальную форму:

1 - x = 2^3 = 8

Следовательно, x = 1 - 8 = -7.

2. Для y2 = -1:

log2(1-x) = -1

Переведем это в экспоненциальную форму:

1 - x = 2^(-1) = 1/2

Следовательно, x = 1 - 1/2 = 1/2.

Таким образом, мы нашли два решения:

• x1 = -7
• x2 = 1/2

Однако, необходимо проверить, подходят ли эти значения под условие, что 1 - x должно быть положительным, так как логарифм определен только для положительных чисел:

Для x1 = -7: 1 - (-7) = 8 (положительное, подходит).

Для x2 = 1/2: 1 - 1/2 = 1/2 (положительное, подходит).

Ответ: x = -7 и x = 1/2.