Для решения этой задачи мы будем использовать принцип Дирихле и свойства четности остатков при делении.

Рассмотрим 11 попарно различных натуральных чисел, которые Рома выбрал. Эти числа не превышают 2025. Мы будем анализировать остатки от деления этих чисел на 4, поскольку остатки при делении на 4 могут принимать только 4 значения: 0, 1, 2, и 3.

Теперь давайте определим, какие остатки могут быть четными, а какие нечетными:

• Четные остатки: 0, 2
• Нечетные остатки: 1, 3

Так как у нас всего 4 возможных остатка (0, 1, 2, 3), а Рома выбрал 11 чисел, по принципу Дирихле, среди этих 11 чисел обязательно найдутся два числа, которые имеют одинаковый остаток при делении на 4. Это значит, что:

1. Если оба числа имеют четный остаток (0 или 2), то мы можем взять их как a и b, где a > b, и остаток от деления a на b будет четным.
2. Если оба числа имеют нечетный остаток (1 или 3), то при делении большего числа на меньшее также может получиться четный остаток, но это менее важно для нашей задачи.

Таким образом, если мы возьмем два числа с одинаковым четным остатком, то мы можем гарантировать, что остаток от деления большего числа на меньшее будет четным. Это завершает доказательство.

Вывод: Мы доказали, что среди 11 попарно различных натуральных чисел, не превышающих 2025, всегда можно найти два числа a и b, такие что a > b и a при делении на b дает четный остаток.