Гипотеза о том, у какого прямоугольника с фиксированным периметром будет самая большая площадь, заключается в том, что такой прямоугольник является квадратом. Давайте рассмотрим это утверждение подробнее.

Для начала, напомним, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

Предположим, что у нас есть прямоугольник с фиксированным периметром P. Периметр прямоугольника можно выразить как:

Из этого уравнения мы можем выразить ширину через длину:

Теперь подставим это значение ширины в формулу для площади:

Раскроем скобки:

Это выражение является квадратной функцией относительно длины, и его график будет иметь форму параболы, открытой вниз. Максимум этой функции будет достигаться в вершине параболы.

Чтобы найти координату вершины, используем формулу:

В нашем случае:

• a = -1 (коэффициент при длина²)
• b = P/2 (коэффициент при длине)

Подставляем значения:

Таким образом, максимальная площадь достигается, когда длина равна P/4. Подставляя это значение обратно, мы можем найти ширину:

Таким образом, когда длина и ширина равны, мы получаем квадрат со стороной P/4.

Итак, мы пришли к выводу, что при фиксированном периметре прямоугольник с максимальной площадью — это квадрат.