Сколькими способами можно разделить группу из 12 юношей и 8 девушек на две группы по 10 человек, если в каждой из получившихся групп должно быть по 4 девушки?

Математика 11 класс Комбинаторика разделение группы комбинаторика задачи на группы 12 юношей 8 девушек способы разделения группы по 10 человек 4 девушки в группе Новый

Чтобы решить задачу, нам нужно разделить группу из 12 юношей и 8 девушек на две группы по 10 человек, при этом в каждой группе должно быть по 4 девушки. Давайте разберем решение по шагам.

1. Определим количество девушек в каждой группе: В каждой из двух групп должно быть по 4 девушки. Поскольку у нас 8 девушек, это условие выполняется.
2. Выбор девушек: Сначала выберем, сколько девушек попадет в первую группу. Мы можем выбрать 4 девушек из 8. Количество способов выбрать 4 девушки из 8 можно найти с помощью сочетаний:
   • Количество способов выбрать 4 девушки из 8 вычисляется по формуле сочетаний C(n, k), где n - общее количество девушек, а k - количество выбираемых девушек.
   • В нашем случае это будет C(8, 4).
3. Выбор юношей: Теперь нам нужно выбрать юношей для первой группы. В первой группе уже будет 4 девушки, значит, нам нужно выбрать 6 юношей (поскольку в группе всего 10 человек). У нас 12 юношей, и мы можем выбрать 6 из них:
   • Количество способов выбрать 6 юношей из 12 также вычисляется с помощью сочетаний: C(12, 6).
4. Общая формула: Теперь мы можем выразить общее количество способов разделения групп. Поскольку у нас две группы, и выбор девушек и юношей для одной группы автоматически определяет состав второй группы, общее количество способов будет равно произведению количества способов выбора девушек и юношей:
   • Общее количество способов = C(8, 4) * C(12, 6).
5. Учтем порядок групп: Поскольку группы неразличимы (то есть, если мы поменяем местами группы, это не изменит ситуацию), мы должны разделить результат на 2, чтобы избежать дублирования:
   • Итоговое количество способов = (C(8, 4) * C(12, 6)) / 2.

Теперь давайте посчитаем значения сочетаний:

• C(8, 4) = 8! / (4! * (8 - 4)!) = 70.
• C(12, 6) = 12! / (6! * (12 - 6)!) = 924.

Теперь подставим эти значения в нашу формулу:

Итоговое количество способов = (70 * 924) / 2 = 32460.

Ответ: Существует 32460 способов разделить группу из 12 юношей и 8 девушек на две группы по 10 человек с условием, что в каждой группе будет по 4 девушки.