Сколько способов можно представить число 50 в виде суммы пяти целых слагаемых, при этом первое слагаемое должно быть не меньше 7, второе слагаемое не меньше 5, третье слагаемое не меньше 2, четвертое слагаемое не меньше 3, а пятое слагаемое не меньше 8?

Математика 11 класс Комбинаторика число 50 сумма пяти слагаемых целые слагаемые условия слагаемых комбинаторика в математике Новый

Для решения этой задачи нам нужно представить число 50 в виде суммы пяти целых слагаемых с заданными ограничениями. Давайте начнем с того, что обозначим наши слагаемые как:

• a1 - первое слагаемое (не меньше 7)
• a2 - второе слагаемое (не меньше 5)
• a3 - третье слагаемое (не меньше 2)
• a4 - четвертое слагаемое (не меньше 3)
• a5 - пятое слагаемое (не меньше 8)

Сначала мы можем вычесть минимальные значения из каждого слагаемого, чтобы упростить задачу. Итак, мы сделаем следующие преобразования:

• b1 = a1 - 7 (b1 >= 0)
• b2 = a2 - 5 (b2 >= 0)
• b3 = a3 - 2 (b3 >= 0)
• b4 = a4 - 3 (b4 >= 0)
• b5 = a5 - 8 (b5 >= 0)

Теперь мы можем выразить исходное уравнение через новые переменные:

50 = (b1 + 7) + (b2 + 5) + (b3 + 2) + (b4 + 3) + (b5 + 8

Упростим это уравнение:

50 = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + 25

Теперь перенесем 25 на другую сторону:

b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = 50 - 25

b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = 25

Теперь мы ищем количество неотрицательных целых решений для уравнения b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = 25.

Для этого мы можем использовать формулу для нахождения количества решений уравнения в неотрицательных целых числах:

Количество решений уравнения x1 + x2 + ... + xk = n равно C(n + k - 1, k - 1), где C - биномиальный коэффициент.

В нашем случае n = 25, а k = 5 (пять слагаемых).

Следовательно, количество решений будет равно:

C(25 + 5 - 1, 5 - 1) = C(29, 4).

Теперь давайте вычислим C(29, 4):

C(29, 4) = 29! / (4! * (29 - 4)!) = 29! / (4! * 25!)

Это можно упростить:

C(29, 4) = (29 * 28 * 27 * 26) / (4 * 3 * 2 * 1) = 23751.

Таким образом, количество способов представить число 50 в виде суммы пяти целых слагаемых с заданными условиями равно 23751.