Сколько существует способов представить число 100 в виде суммы десяти натуральных слагаемых, если порядок слагаемых важен?

Математика 11 класс Комбинаторика способы представить число сумма десяти натуральных порядок слагаемых важен задачи по комбинаторике математика 11 класс Новый

Для решения задачи о количестве способов представить число 100 в виде суммы десяти натуральных слагаемых, где порядок слагаемых важен, мы можем использовать метод, основанный на комбинаторике.

Сначала заметим, что если мы хотим представить число 100 в виде суммы десяти натуральных слагаемых, то каждое слагаемое должно быть не менее 1. Таким образом, мы можем вычесть 1 из каждого из десяти слагаемых, чтобы получить новую задачу, в которой мы представляем число 90 в виде суммы десяти ненулевых слагаемых.

Теперь, если обозначить наши натуральные слагаемые как x1, x2, ..., x10, то мы можем записать уравнение:

x1 + x2 + ... + x10 = 100

После вычитания 1 из каждого слагаемого, у нас получится:

(x1 - 1) + (x2 - 1) + ... + (x10 - 1) = 90 - 10

или, что эквивалентно:

y1 + y2 + ... + y10 = 90

где yi = xi - 1 и yi ≥ 0 (так как xi ≥ 1).

Теперь мы ищем количество решений данного уравнения. Это можно сделать с помощью формулы для нахождения количества неотрицательных целых решений уравнения:

C(n + k - 1, k - 1), где n - это сумма, которую мы хотим получить (в нашем случае 90), а k - количество слагаемых (в нашем случае 10).

Подставляем значения:

• n = 90
• k = 10

Итак, мы ищем:

C(90 + 10 - 1, 10 - 1) = C(99, 9)

Теперь нам нужно вычислить C(99, 9). Это можно сделать по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Подставляем значения:

C(99, 9) = 99! / (9! * (99 - 9)!) = 99! / (9! * 90!)

Теперь, чтобы упростить вычисления, мы можем выразить C(99, 9) как:

C(99, 9) = (99 * 98 * 97 * 96 * 95 * 94 * 93 * 92 * 91) / (9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

После выполнения всех вычислений, мы получим количество способов представить число 100 в виде суммы десяти натуральных слагаемых с учетом порядка.

Таким образом, ответ на вопрос: количество способов представить число 100 в виде суммы десяти натуральных слагаемых, где порядок слагаемых важен, равно C(99, 9).