Среди 300 пробирок, изготовленных на автоматической линии, оказалось 15 нестандартных. Для химического опыта требуется 3 пробирки. Какова вероятность того, что среди отобранных пробирок:

1. 1 стандартная,
2. 2 стандартные,
3. хотя бы 1 стандартная.

Математика 11 класс Вероятность и комбинаторика Новый

Для начала давайте определим, сколько стандартных и нестандартных пробирок у нас есть. Из 300 пробирок 15 нестандартные, следовательно:

• Количество стандартных пробирок = 300 - 15 = 285.

Теперь мы можем рассчитать вероятность для каждой из заданных ситуаций. Для этого используем формулу вероятности:

P(A) = (количество благоприятных исходов) / (общее количество исходов)

Общее количество способов выбрать 3 пробирки из 300 можно вычислить с помощью формулы сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Где n - общее количество пробирок, k - количество пробирок, которые мы выбираем.

Теперь давайте рассмотрим каждую ситуацию по отдельности:

1. Вероятность того, что среди отобранных пробирок 1 стандартная

Для того, чтобы получить 1 стандартную и 2 нестандартные пробирки, мы можем использовать следующую формулу:

• Количество способов выбрать 1 стандартную пробирку: C(285, 1)
• Количество способов выбрать 2 нестандартные пробирки: C(15, 2)

Общее количество способов выбрать 3 пробирки: C(300, 3)

Теперь подставим значения:

• C(285, 1) = 285
• C(15, 2) = 15! / (2! * 13!) = 105
• C(300, 3) = 300! / (3! * 297!) = 44850

Теперь можем найти вероятность:

P(1 стандартная) = (C(285, 1) * C(15, 2)) / C(300, 3) = (285 * 105) / 44850

После вычислений получаем:

P(1 стандартная) ≈ 0.067

2. Вероятность того, что среди отобранных пробирок 2 стандартные

Для того, чтобы получить 2 стандартные и 1 нестандартную пробирку, мы используем аналогичный подход:

• Количество способов выбрать 2 стандартные пробирки: C(285, 2)
• Количество способов выбрать 1 нестандартную пробирку: C(15, 1)

Теперь подставим значения:

• C(285, 2) = 285! / (2! * 283!) = 40635
• C(15, 1) = 15

Теперь можем найти вероятность:

P(2 стандартные) = (C(285, 2) * C(15, 1)) / C(300, 3) = (40635 * 15) / 44850

После вычислений получаем:

P(2 стандартные) ≈ 0.910

3. Вероятность того, что хотя бы 1 стандартная

Для нахождения вероятности того, что хотя бы 1 стандартная, проще использовать дополнение:

P(хотя бы 1 стандартная) = 1 - P(0 стандартных)

Где P(0 стандартных) - это вероятность того, что все 3 пробирки нестандартные:

• Количество способов выбрать 3 нестандартные пробирки: C(15, 3)

Теперь подставим значения:

• C(15, 3) = 15! / (3! * 12!) = 455

Теперь можем найти вероятность:

P(0 стандартных) = C(15, 3) / C(300, 3) = 455 / 44850

Теперь подставим в формулу для вероятности хотя бы одной стандартной:

P(хотя бы 1 стандартная) = 1 - (455 / 44850) ≈ 0.990

Таким образом, мы получили следующие вероятности:

• Вероятность того, что среди отобранных пробирок 1 стандартная: ≈ 0.067
• Вероятность того, что среди отобранных пробирок 2 стандартные: ≈ 0.910
• Вероятность того, что хотя бы 1 стандартная: ≈ 0.990