Давайте упростим данное выражение шаг за шагом. Начнем с каждого компонента по отдельности.

Шаг 1: Упрощение cos²(π/2 + α) - cos²α

• Используем формулу косинуса для суммы: cos(π/2 + α) = -sin(α).
• Следовательно, cos²(π/2 + α) = sin²(α).
• Теперь подставим это в выражение: sin²(α) - cos²(α).
• Используем тождество: sin²(α) - cos²(α) = -cos(2α).

Шаг 2: Упрощение (cos 8α + 1) / cos 4α - cos 4α

• Приведем к общему знаменателю: (cos 8α + 1 - cos² 4α) / cos 4α.
• Заменим cos² 4α на 1 - sin² 4α: (cos 8α + 1 - (1 - sin² 4α)) / cos 4α.
• Это упрощается до (cos 8α + sin² 4α) / cos 4α.

Шаг 3: Упрощение (1 + cos 6α)² / ctg² 3α

• Заметим, что ctg² 3α = cos² 3α / sin² 3α.
• Следовательно, (1 + cos 6α)² * (sin² 3α / cos² 3α).

Шаг 4: Упрощение (1 - cos 8α) ctg 4α

• Здесь ctg 4α = cos 4α / sin 4α.
• Таким образом, (1 - cos 8α) * (cos 4α / sin 4α).

Шаг 5: Упрощение (2 cos 2α - 2 sin 2α) / (2 sin² 2α + cos 4α - sin 4α)

• В числителе можем вынести 2: 2 (cos 2α - sin 2α).
• В знаменателе, используя тождество sin 4α = 2 sin 2α cos 2α, получаем: 2 sin² 2α + cos 4α - 2 sin 2α cos 2α.
• Это можно упростить до: 2 (sin² 2α - sin 2α cos 2α + cos 4α / 2).

Теперь соберем все части вместе:

• Первое выражение: -cos(2α).
• Второе выражение: (cos 8α + sin² 4α) / cos 4α.
• Третье выражение: (1 + cos 6α)² * (sin² 3α / cos² 3α).
• Четвертое выражение: (1 - cos 8α) * (cos 4α / sin 4α).
• Пятое выражение: 2 (cos 2α - sin 2α) / (2 (sin² 2α - sin 2α cos 2α + cos 4α / 2)).

В результате, мы получили упрощенные части, которые могут быть объединены или дополнительно упрощены в зависимости от дальнейших требований. Если необходимо, можем продолжить упрощение, используя тригонометрические тождества и формулы.