Похожие вопросы
2025-09-25 07:17:29
В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 3, а сумма первого, третьего и пятого членов равна 5,25. Как можно найти сумму этой прогрессии?
Математика 11 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия сумма членов убывающая прогрессия математические задачи решение уравнений
2025-09-25 07:18:00
Давайте обозначим первый член нашей геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Поскольку прогрессия бесконечно убывающая, то 0 < q < 1.
Согласно условию задачи, сумма первых трех членов геометрической прогрессии может быть выражена следующим образом:
- Первый член: a
- Второй член: aq
- Третий член: aq^2
Сумма первых трех членов равна 3, значит:
a + aq + aq^2 = 3Эту сумму можно вынести за скобки:
a(1 + q + q^2) = 3Теперь рассмотрим сумму первого, третьего и пятого членов:
- Первый член: a
- Третий член: aq^2
- Пятый член: aq^4
Сумма этих трех членов равна 5,25:
a + aq^2 + aq^4 = 5,25Также можем вынести a за скобки:
a(1 + q^2 + q^4) = 5,25Теперь у нас есть две системы уравнений:
- a(1 + q + q^2) = 3
- a(1 + q^2 + q^4) = 5,25
Теперь мы можем выразить a из первого уравнения:
a = 3 / (1 + q + q^2)Подставим это значение во второе уравнение:
(3 / (1 + q + q^2))(1 + q^2 + q^4) = 5,25Умножим обе стороны на (1 + q + q^2):
3(1 + q^2 + q^4) = 5,25(1 + q + q^2)Теперь раскроем скобки и упростим:
3 + 3q^2 + 3q^4 = 5,25 + 5,25q + 5,25q^2Переносим все в одну сторону:
3q^4 + (3 - 5,25)q^2 - 5,25 - 5,25q + 3 = 0Упрощаем уравнение:
3q^4 - 5,25q + (3 - 5,25) + 3 = 0Теперь решаем это уравнение для нахождения q.
После нахождения q, мы можем найти a и затем использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S = a / (1 - q)Таким образом, мы получим сумму всей прогрессии.