В цехе трудятся 7 мужчин и 3 женщины. Из табельных номеров случайным образом выбраны 3 человека. Какова вероятность того, что все выбранные окажутся мужчинами?

Математика 11 класс Комбинаторика и вероятность вероятность выбора мужчин задача по математике комбинаторика цех мужчины женщины выбор из группы статистика вероятность события Новый

Для решения задачи о вероятности того, что все выбранные окажутся мужчинами, нам нужно рассмотреть общее количество возможных комбинаций выбора 3 человек из 10 (7 мужчин и 3 женщины) и количество благоприятных случаев, когда выбираются только мужчины.

Шаг 1: Определим общее количество способов выбрать 3 человека из 10.

Общее количество способов выбрать 3 человека из 10 можно вычислить по формуле сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!),

где n - общее количество объектов, k - количество объектов, которые мы выбираем.

В нашем случае n = 10, k = 3:

C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 10! / (3! * 7!)

Мы можем упростить это выражение:

• 10! = 10 × 9 × 8 × 7!
• Итак, C(10, 3) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120.

Шаг 2: Определим количество способов выбрать 3 мужчин из 7.

Теперь найдем количество способов выбрать 3 мужчин из 7:

C(7, 3) = 7! / (3! * (7 - 3)!) = 7! / (3! * 4!)

Упрощаем:

• 7! = 7 × 6 × 5 × 4!
• Таким образом, C(7, 3) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 35.

Шаг 3: Найдем вероятность того, что все выбранные окажутся мужчинами.

Вероятность P того, что все выбранные окажутся мужчинами, можно вычислить по формуле:

P = (количество благоприятных случаев) / (общее количество случаев).

Подставляем наши значения:

P = C(7, 3) / C(10, 3) = 35 / 120.

Шаг 4: Упростим дробь.

Упрощаем 35/120:

• 35 и 120 имеют общий делитель 5.
• 35 / 5 = 7, 120 / 5 = 24.

Таким образом, P = 7 / 24.

Ответ: Вероятность того, что все выбранные окажутся мужчинами, равна 7/24.