В группе 10 юношей и 6 девушек. Для дежурства на вечере путём жеребьёвки выделяют 5 человек. Какова вероятность того, что в число дежурных войдут:

1. A) 5 юношей
2. Б) 2 юноши и 3 девушки
3. В) более 2-х девушек
4. Г) хотя бы одна девушка

Математика 11 класс Вероятность и комбинаторика вероятность дежурство жеребьёвка юноши девушки комбинаторика задачи по математике 11 класс математика выборка Новый

Для решения задачи нам нужно использовать понятие комбинаторики и вероятность. Начнем с определения общего количества способов выбрать 5 человек из 16 (10 юношей и 6 девушек).

Общее количество способов выбрать 5 человек:

Обозначим общее количество людей как N = 10 + 6 = 16. Количество способов выбрать 5 человек из 16 можно найти с помощью формулы сочетаний:

C(N, k) = N! / (k! * (N - k)!), где N - общее количество, k - количество выбираемых.

Таким образом, общее количество способов:

C(16, 5) = 16! / (5! * (16 - 5)!) = 16! / (5! * 11!) = 4368.

Теперь перейдем к каждому из пунктов.

1. A) Вероятность того, что в число дежурных войдут 5 юношей:
• Количество способов выбрать 5 юношей из 10:

C(10, 5) = 10! / (5! * (10 - 5)!) = 10! / (5! * 5!) = 252.

• Вероятность P(A) будет равна количеству благоприятных исходов (выбор 5 юношей) делённому на общее количество способов:

P(A) = C(10, 5) / C(16, 5) = 252 / 4368 = 0.0577 (около 5.77%).

2. Б) Вероятность того, что в число дежурных войдут 2 юноши и 3 девушки:
• Количество способов выбрать 2 юношей из 10:

C(10, 2) = 10! / (2! * (10 - 2)!) = 10! / (2! * 8!) = 45.

• Количество способов выбрать 3 девушки из 6:

C(6, 3) = 6! / (3! * (6 - 3)!) = 6! / (3! * 3!) = 20.

• Общее количество способов выбрать 2 юношей и 3 девушки:

Обозначим это как C(10, 2) * C(6, 3) = 45 * 20 = 900.

• Вероятность P(B):

P(B) = C(10, 2) * C(6, 3) / C(16, 5) = 900 / 4368 = 0.2065 (около 20.65%).

3. В) Вероятность того, что в число дежурных войдут более 2-х девушек:
• Это может быть 3 или 4 или 5 девушек. Рассчитаем каждую из этих вероятностей:
• 1. 3 девушки и 2 юноши:

C(6, 3) * C(10, 2) = 20 * 45 = 900.

• 2. 4 девушки и 1 юноша:

C(6, 4) * C(10, 1) = 15 * 10 = 150.

• 3. 5 девушек:

C(6, 5) * C(10, 0) = 6 * 1 = 6.

• Общее количество способов для более 2-х девушек:

900 + 150 + 6 = 1056.

• Вероятность P(V):

P(V) = 1056 / 4368 = 0.2424 (около 24.24%).

4. Г) Вероятность того, что в число дежурных войдут хотя бы одна девушка:
• Сначала найдем вероятность противоположного события, т.е. что не будет ни одной девушки (т.е. будут только юноши).
• Количество способов выбрать 5 юношей из 10:

C(10, 5) = 252.

• Вероятность того, что не будет девушек:

P(нет девушек) = C(10, 5) / C(16, 5) = 252 / 4368.

• Теперь вероятность того, что хотя бы одна девушка будет:

P(хотя бы одна девушка) = 1 - P(нет девушек) = 1 - (252 / 4368) = 1 - 0.0577 = 0.9423 (около 94.23%).

Таким образом, мы нашли вероятности для всех пунктов:

• A) 5 юношей: около 5.77%
• Б) 2 юноши и 3 девушки: около 20.65%
• В) Более 2-х девушек: около 24.24%
• Г) Хотя бы одна девушка: около 94.23%