В группе из 10 человек, какова вероятность того, что у хотя бы 2 студентов совпадают дни рождения?

Математика 11 класс Вероятность и статистика вероятность совпадения дней рождения задача о днях рождения комбинаторика в вероятности математика 11 класс группа из 10 человек Новый

Для решения задачи о вероятности совпадения дней рождения у студентов, мы можем воспользоваться методом дополнения. Вместо того, чтобы напрямую вычислять вероятность того, что хотя бы у двух человек совпадают дни рождения, мы сначала найдем вероятность того, что у всех 10 человек дни рождения разные, а затем вычтем эту вероятность из 1.

Предположим, что дни рождения равномерно распределены по 365 дням в году (не учитываем високосный год). Теперь давайте рассмотрим шаги:

1. Вероятность того, что первый студент родился в любой день: Поскольку у него нет ограничений, вероятность равна 1.
2. Вероятность того, что второй студент родился в другой день: У второго студента есть 364 дня на выбор (из 365), чтобы его день рождения не совпадал с первым. Таким образом, вероятность того, что у второго студента день рождения не совпадает с первым, равна 364/365.
3. Вероятность того, что третий студент родился в день, отличный от первых двух: У третьего студента остается 363 дня. Вероятность, что у него день рождения не совпадает с первыми двумя, равна 363/365.
4. Продолжая по этой логике: Мы можем записать вероятности для всех 10 студентов:
   • Для четвертого: 362/365
   • Для пятого: 361/365
   • Для шестого: 360/365
   • Для седьмого: 359/365
   • Для восьмого: 358/365
   • Для девятого: 357/365
   • Для десятого: 356/365

Теперь мы можем перемножить все эти вероятности, чтобы найти вероятность того, что у всех 10 студентов дни рождения разные:

Вероятность (все разные) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * (362/365) * (361/365) * (360/365) * (359/365) * (358/365) * (357/365) * (356/365).

Теперь давайте вычислим это значение:

Вероятность (все разные) ≈ 0.883 (примерно).

Теперь, чтобы найти вероятность того, что хотя бы у двух студентов совпадают дни рождения, мы вычтем полученное значение из 1:

Вероятность (хотя бы 2 совпадают) = 1 - Вероятность (все разные) = 1 - 0.883 = 0.117.

Таким образом, вероятность того, что хотя бы у двух студентов совпадают дни рождения, составляет примерно 0.117, или 11.7%.