В группе из 12 студентов, среди которых 4 отличника, выбрали 3 студента. Какова вероятность того, что все выбранные студенты будут отличниками?

Математика 11 класс Комбинаторика и теория вероятностей вероятность студенты отличники комбинаторика выбор математика задача группа решение 11 класс Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать понятие вероятности. Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

В нашей ситуации:

• Общее количество студентов в группе: 12.
• Количество отличников: 4.
• Количество студентов, которых мы выбираем: 3.

Теперь давайте найдем общее количество способов выбрать 3 студентов из 12. Это можно сделать с помощью формулы для сочетаний:

Количество способов выбрать k элементов из n элементов обозначается как C(n, k) и вычисляется по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Где "!" означает факториал числа. Теперь подставим наши значения:

1. n = 12 (всего студентов)
2. k = 3 (выбираем 3 студента)

Подсчитаем общее количество способов выбрать 3 студента из 12:

C(12, 3) = 12! / (3! * (12 - 3)!) = 12! / (3! * 9!)

Теперь упростим это выражение:

12! = 12 * 11 * 10 * 9!

Таким образом, C(12, 3) = (12 * 11 * 10) / (3 * 2 * 1) = 220.

Теперь найдем количество благоприятных исходов, то есть количество способов выбрать 3 отличника из 4:

C(4, 3) = 4! / (3! * (4 - 3)!) = 4! / (3! * 1!)

Упростим:

4! = 4 * 3!

Таким образом, C(4, 3) = 4 / 1 = 4.

Теперь мы можем найти вероятность того, что все выбранные студенты будут отличниками:

Вероятность = (число благоприятных исходов) / (общее число возможных исходов) = C(4, 3) / C(12, 3) = 4 / 220.

Упростим дробь:

4 / 220 = 1 / 55.

Ответ: Вероятность того, что все выбранные студенты будут отличниками, равна 1/55.