В какой точке x отрезка [−3;5] функция f(x)=2x^3 - 3x^7 достигает своего максимального значения? Запиши в поле ответа правильное число.

Математика 11 класс Оптимизация функций функция максимальное значение отрезок математика 11 класс f(x)=2x^3 - 3x^7 точка X Новый

Чтобы найти, в какой точке отрезка [-3; 5] функция f(x) = 2x^3 - 3x^7 достигает максимального значения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции: Для этого мы применим правила дифференцирования.
2. Производная f'(x) будет равна:
• f'(x) = 6x^2 - 21x^6.
3. Найти критические точки: Для этого нужно решить уравнение f'(x) = 0:
• 6x^2 - 21x^6 = 0.
• Выносим общий множитель: 3x^2(2 - 7x^4) = 0.
• Получаем два уравнения:
• 3x^2 = 0, что дает x = 0;
• 2 - 7x^4 = 0, что приводит к 7x^4 = 2, откуда x^4 = 2/7, а значит x = ±(2/7)^(1/4).
4. Теперь нужно найти значения критических точек: Мы имеем x = 0 и x = ±(2/7)^(1/4). Рассчитываем значение (2/7)^(1/4).
5. Проверяем, находятся ли найденные точки в интервале [-3; 5]: Все найденные точки (0 и ±(2/7)^(1/4)) находятся в этом интервале.
6. Теперь находим значения функции f(x) в точках -3, 0, (2/7)^(1/4) и 5:
• f(-3) = 2(-3)^3 - 3(-3)^7 = -54 + 2187 = 2133;
• f(0) = 2(0)^3 - 3(0)^7 = 0;
• f((2/7)^(1/4)) = 2((2/7)^(1/4))^3 - 3((2/7)^(1/4))^7;
• f(5) = 2(5)^3 - 3(5)^7 = 250 - 1875 = -1625.
7. Сравниваем полученные значения:
• f(-3) = 2133;
• f(0) = 0;
• f(5) = -1625;
• f((2/7)^(1/4)) - это значение нужно будет вычислить, но оно будет меньше 2133.

Таким образом, максимальное значение функции f(x) на отрезке [-3; 5] достигается в точке x = -3.