В классе каждый ученик дружит ровно с шестью другими, и у любых двух учеников есть ровно два общих друга. Сколько всего учеников в этом классе?

Математика 11 класс Комбинаторика математика 11 класс задача на графы количество учеников дружба в классе комбинаторика теория графов решение задачи Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства графов. Рассмотрим класс как граф, где вершины графа представляют учеников, а ребра – дружбу между ними.

Дано, что каждый ученик дружит ровно с шестью другими. Это означает, что степень каждой вершины равна 6. Также нам сказано, что у любых двух учеников есть ровно два общих друга. Это свойство графа называется "параметр общего друга".

Обозначим количество учеников в классе как n. Поскольку каждый ученик дружит с 6 другими, можно записать:

• Каждый ученик имеет степень 6.
• Общее количество рёбер в графе можно выразить как 6n/2 = 3n, так как каждое ребро соединяет двух учеников.

Теперь рассмотрим пары учеников. У нас есть n учеников, и мы можем выбрать пару из них. Количество способов выбрать 2 ученика из n равно C(n, 2) = n(n-1)/2.

Теперь, согласно условию, у каждой пары учеников есть ровно 2 общих друга. Это означает, что для каждой пары существует 2 общих друга, и таким образом, общее количество пар учеников, которые могут быть выбраны через общих друзей, будет равно 2 * C(n, 2) = n(n-1).

Сравним количество рёбер, которые мы получили:

• С одной стороны, количество рёбер равно 3n.
• С другой стороны, количество рёбер через общих друзей равно n(n-1).

Таким образом, мы можем записать уравнение:

3n = n(n - 1)

Теперь упростим это уравнение:

• 3n = n^2 - n
• n^2 - n - 3n = 0
• n^2 - 4n = 0
• n(n - 4) = 0

Это уравнение имеет два решения: n = 0 и n = 4. Поскольку количество учеников не может быть нулевым, мы получаем:

n = 4

Таким образом, в классе всего 4 ученика.