В классе учится 25 человек. Сколько различных способов можно выбрать 5 дежурных на каждый из пяти дней, чтобы состав дежурных каждый день отличался?

Математика 11 класс Комбинаторика математика 11 класс задачи на комбинаторику выбор дежурных различные способы выбора комбинаторика для школьников Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику. Нам нужно выбрать 5 дежурных из 25 человек на каждый из 5 дней, причем состав дежурных должен отличаться каждый день.

Шаг 1: Определим, сколько способов выбрать 5 дежурных на один день.

• Количество способов выбрать 5 дежурных из 25 человек можно найти с помощью формулы сочетаний. Формула сочетаний выглядит так: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где n - общее количество человек, а k - количество выбираемых человек.
• В нашем случае n = 25, а k = 5. Подставим значения в формулу:

Таким образом, мы получаем:

• C(25, 5) = 25! / (5! * (25 - 5)!) = 25! / (5! * 20!)
• Теперь посчитаем это значение. 25! = 25 * 24 * 23 * 22 * 21 * 20!, поэтому мы можем сократить 20! в числителе и знаменателе:

Остается:

• C(25, 5) = (25 * 24 * 23 * 22 * 21) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1)
• Теперь посчитаем числитель: 25 * 24 = 600, 600 * 23 = 13800, 13800 * 22 = 303600, 303600 * 21 = 6375600.
• Теперь посчитаем знаменатель: 5! = 120.

Теперь делим числитель на знаменатель:

• 6375600 / 120 = 53130.

Итак, на один день мы можем выбрать 5 дежурных 53130 способами.

Шаг 2: Теперь нам нужно выбрать 5 дежурных на каждый из 5 дней, причем состав дежурных должен отличаться каждый день.

• На первый день у нас 53130 способов выбрать дежурных.
• На второй день нам нужно выбрать 5 дежурных из оставшихся 20 человек (так как 5 уже выбраны). Это можно сделать C(20, 5) способами.
• На третий день мы выбираем 5 дежурных из оставшихся 15 человек, что можно сделать C(15, 5) способами.
• На четвертый день выбираем 5 дежурных из оставшихся 10 человек, что можно сделать C(10, 5) способами.
• На пятый день выбираем 5 дежурных из оставшихся 5 человек, что можно сделать C(5, 5) способами (это всего 1 способ).

Теперь мы можем выразить общее количество способов выбора дежурных за 5 дней как произведение всех этих сочетаний:

• Общее количество способов = C(25, 5) * C(20, 5) * C(15, 5) * C(10, 5) * C(5, 5).

Теперь мы можем подставить значения:

• C(25, 5) = 53130,
• C(20, 5) = 15504,
• C(15, 5) = 3003,
• C(10, 5) = 252,
• C(5, 5) = 1.

Теперь перемножим эти значения:

• Общее количество способов = 53130 * 15504 * 3003 * 252 * 1.

Посчитаем это произведение:

• 53130 * 15504 = 824512320,
• 824512320 * 3003 = 2470330923360,
• 2470330923360 * 252 = 623998999999520.

Таким образом, общее количество различных способов выбрать 5 дежурных на каждый из пяти дней, чтобы состав дежурных каждый день отличался, равно 623998999999520.