Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику. Нам нужно выбрать 5 дежурных из 25 человек на каждый из 5 дней, причем состав дежурных должен отличаться каждый день.

Шаг 1: Определим, сколько способов выбрать 5 дежурных на один день.

• Количество способов выбрать 5 дежурных из 25 человек можно найти с помощью формулы сочетаний. Формула сочетаний выглядит так: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где n - общее количество человек, а k - количество выбираемых человек.
• В нашем случае n = 25, а k = 5. Подставим значения в формулу:

Таким образом, мы получаем:

• C(25, 5) = 25! / (5! * (25 - 5)!) = 25! / (5! * 20!)
• Теперь посчитаем это значение. 25! = 25 * 24 * 23 * 22 * 21 * 20!, поэтому мы можем сократить 20! в числителе и знаменателе:

Остается:

• C(25, 5) = (25 * 24 * 23 * 22 * 21) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1)
• Теперь посчитаем числитель: 25 * 24 = 600, 600 * 23 = 13800, 13800 * 22 = 303600, 303600 * 21 = 6375600.
• Теперь посчитаем знаменатель: 5! = 120.

Теперь делим числитель на знаменатель:

• 6375600 / 120 = 53130.

Итак, на один день мы можем выбрать 5 дежурных 53130 способами.

Шаг 2: Теперь нам нужно выбрать 5 дежурных на каждый из 5 дней, причем состав дежурных должен отличаться каждый день.

• На первый день у нас 53130 способов выбрать дежурных.
• На второй день нам нужно выбрать 5 дежурных из оставшихся 20 человек (так как 5 уже выбраны). Это можно сделать C(20, 5) способами.
• На третий день мы выбираем 5 дежурных из оставшихся 15 человек, что можно сделать C(15, 5) способами.
• На четвертый день выбираем 5 дежурных из оставшихся 10 человек, что можно сделать C(10, 5) способами.
• На пятый день выбираем 5 дежурных из оставшихся 5 человек, что можно сделать C(5, 5) способами (это всего 1 способ).

Теперь мы можем выразить общее количество способов выбора дежурных за 5 дней как произведение всех этих сочетаний:

• Общее количество способов = C(25, 5) * C(20, 5) * C(15, 5) * C(10, 5) * C(5, 5).

Теперь мы можем подставить значения:

• C(25, 5) = 53130,
• C(20, 5) = 15504,
• C(15, 5) = 3003,
• C(10, 5) = 252,
• C(5, 5) = 1.

Теперь перемножим эти значения:

• Общее количество способов = 53130 * 15504 * 3003 * 252 * 1.

Посчитаем это произведение:

• 53130 * 15504 = 824512320,
• 824512320 * 3003 = 2470330923360,
• 2470330923360 * 252 = 623998999999520.

Таким образом, общее количество различных способов выбрать 5 дежурных на каждый из пяти дней, чтобы состав дежурных каждый день отличался, равно 623998999999520.