В круг вписан правильный треугольник. Какова вероятность того, что из 5 случайно выбранных точек, брошенных в круг, ни одна не окажется внутри данного треугольника?

Математика 11 класс Вероятность и комбинаторика вероятность круг правильный треугольник случайные точки математика 11 Новый

Для решения этой задачи нам нужно сначала понять, какова площадь правильного треугольника, вписанного в круг, и какова площадь самого круга. Затем мы сможем определить вероятность того, что случайно выбранные точки не попадут внутрь треугольника.

Шаг 1: Определим площади фигуры.

• Пусть радиус круга равен R.
• Площадь круга можно вычислить по формуле: Площадь круга = πR².
• Теперь найдем площадь правильного треугольника, вписанного в этот круг. Площадь правильного треугольника, вписанного в круг радиуса R, равна: Площадь треугольника = (3√3 / 4) * R².

Шаг 2: Вычислим вероятность того, что точка не попадает внутрь треугольника.

• Вероятность того, что одна случайно выбранная точка попадает внутрь треугольника, равна отношению площади треугольника к площади круга:
• P(попадание в треугольник) = Площадь треугольника / Площадь круга = (3√3 / 4) * R² / (πR²) = (3√3 / 4π).
• Следовательно, вероятность того, что точка не попадает в треугольник, равна:
• P(не попадание в треугольник) = 1 - P(попадание в треугольник) = 1 - (3√3 / 4π).

Шаг 3: Вычислим вероятность того, что все 5 точек не попадут внутрь треугольника.

• Поскольку выбор точек независим, мы можем возвести вероятность того, что одна точка не попадает в треугольник, в степень 5:
• P(все 5 точек не попадают в треугольник) = (1 - (3√3 / 4π))^5.

Таким образом, окончательная вероятность того, что из 5 случайно выбранных точек ни одна не окажется внутри данного треугольника, равна:

P(все 5 точек не попадают в треугольник) = (1 - (3√3 / 4π))^5.