В партии из 20 деталей, из которых 8 стандартных, какая вероятность того, что среди 6 случайно выбранных деталей будет 5 стандартных?

Математика 11 класс Комбинаторика и теория вероятностей вероятность стандартные детали комбинаторика выборка математика 11 класс задачи по вероятности случайный выбор вероятность события Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для вычисления вероятности события, связанного с выбором объектов из конечной совокупности. В данном случае нам нужно найти вероятность того, что среди 6 случайно выбранных деталей будет 5 стандартных из 20 деталей, из которых 8 стандартных и 12 нестандартных.

Шаг 1: Определим общее количество способов выбрать 6 деталей из 20.

Общее количество способов выбрать 6 деталей из 20 можно вычислить с помощью формулы сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!),

где n - общее количество объектов, k - количество выбираемых объектов.

В нашем случае n = 20, k = 6:

C(20, 6) = 20! / (6! * (20 - 6)!) = 20! / (6! * 14!)

Теперь вычислим это значение:

• 20! / (6! * 14!) = (20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 38760.

Шаг 2: Определим количество способов выбрать 5 стандартных и 1 нестандартную деталь.

Теперь нам нужно выбрать 5 стандартных деталей из 8 и 1 нестандартную деталь из 12:

Количество способов выбрать 5 стандартных деталей из 8:

C(8, 5) = 8! / (5! * (8 - 5)!) = 8! / (5! * 3!)

Вычисляем:

• C(8, 5) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 56.

Количество способов выбрать 1 нестандартную деталь из 12:

C(12, 1) = 12! / (1! * (12 - 1)!) = 12.

Шаг 3: Умножим количество способов выбрать стандартные и нестандартные детали.

Теперь мы можем найти общее количество способов выбрать 5 стандартных и 1 нестандартную деталь:

Общее количество способов = C(8, 5) * C(12, 1) = 56 * 12 = 672.

Шаг 4: Найдем вероятность того, что среди 6 выбранных деталей будет 5 стандартных.

Вероятность P того, что среди 6 выбранных деталей будет 5 стандартных, рассчитывается по формуле:

P = (количество благоприятных исходов) / (общее количество исходов).

Подставим наши значения:

P = 672 / 38760.

Теперь упростим это дробное выражение:

• P = 672 / 38760 = 0.0173 (приблизительно).

Ответ: Вероятность того, что среди 6 случайно выбранных деталей будет 5 стандартных, составляет примерно 0.0173, или 1.73%.