В первой урне находится 4 черных и 6 белых шаров, а во второй урне 3 белых и 7 черных шаров. Если из случайно выбранной урны вынули один белый шар, какова вероятность того, что этот шар был взят из первой урны?

1. а) 2/3
2. б) 3/10
3. в) 3/20
4. г) 9/20

Математика 11 класс Вероятность вероятность белого шара задача по математике 11 класс комбинаторика условная вероятность Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу Байеса, которая позволяет находить условные вероятности.

Обозначим события:

• A1: шар был взят из первой урны.
• A2: шар был взят из второй урны.
• B: шар белый.

Нам нужно найти вероятность P(A1 | B), то есть вероятность того, что шар был взят из первой урны, при условии что он белый.

Согласно формуле Байеса:

P(A1 | B) = P(B | A1) * P(A1) / P(B)

Теперь мы найдем каждую из составляющих:

1. P(A1): вероятность выбрать первую урну. Поскольку мы выбираем одну из двух урн, то P(A1) = 1/2.
2. P(A2): вероятность выбрать вторую урну. Аналогично, P(A2) = 1/2.
3. P(B | A1): вероятность того, что шар белый, если выбрана первая урна. В первой урне 6 белых шаров из 10 (4 черных + 6 белых), поэтому P(B | A1) = 6/10 = 3/5.
4. P(B | A2): вероятность того, что шар белый, если выбрана вторая урна. Во второй урне 3 белых шара из 10 (7 черных + 3 белых), поэтому P(B | A2) = 3/10.

Теперь найдем P(B) — общую вероятность того, что шар белый:

P(B) = P(B | A1) * P(A1) + P(B | A2) * P(A2)

Подставим значения:

P(B) = (3/5) * (1/2) + (3/10) * (1/2) = (3/10) + (3/20)

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю:

P(B) = (6/20) + (3/20) = 9/20.

Теперь подставим все найденные значения в формулу Байеса:

P(A1 | B) = P(B | A1) * P(A1) / P(B) = (3/5) * (1/2) / (9/20).

Упростим это выражение:

P(A1 | B) = (3/5) * (1/2) * (20/9) = (3 * 20) / (5 * 2 * 9) = 60 / 90 = 2/3.

Таким образом, вероятность того, что белый шар был взят из первой урны, равна 2/3.

Ответ: а) 2/3