В правильном 9-угольнике, сколько существует способов провести 3 диагонали так, чтобы каждая пара из них пересекалась внутри 9-угольника?

Математика 11 класс Комбинаторика правильный 9-угольник способы провести диагонали пересечение диагоналей комбинаторика 9-угольника задачи на диагонали Новый

Чтобы решить задачу о том, сколько существует способов провести 3 диагонали в правильном 9-угольнике так, чтобы каждая пара из них пересекалась внутри 9-угольника, нам нужно воспользоваться некоторыми свойствами диагоналей и комбинаторикой.

Шаг 1: Определение диагоналей

В правильном n-угольнике количество диагоналей можно вычислить по формуле:

Количество диагоналей = n(n - 3) / 2

Для 9-угольника (n = 9):

Количество диагоналей = 9(9 - 3) / 2 = 9 * 6 / 2 = 27

Таким образом, в 9-угольнике 27 диагоналей.

Шаг 2: Условия пересечения диагоналей

Чтобы 3 диагонали пересекались внутри 9-угольника, они должны соединять 4 различных вершин. Это означает, что каждая из 3 диагоналей должна соединять разные пары вершин, и эти пары не должны пересекаться с другими парами. Поэтому, чтобы 3 диагонали пересекались, нам нужно выбрать 4 вершины из 9 и провести диагонали между ними.

Шаг 3: Выбор вершин

Количество способов выбрать 4 вершины из 9 можно вычислить с помощью биномиальных коэффициентов:

C(9, 4) = 9! / (4!(9 - 4)!) = 9! / (4! * 5!) = (9 * 8 * 7 * 6) / (4 * 3 * 2 * 1) = 126

Шаг 4: Подсчет диагоналей

Для каждой выбранной группы из 4 вершин существует ровно 1 способ провести 3 диагонали, которые будут пересекаться внутри 9-угольника. Это связано с тем, что 3 диагонали, проведенные между 4 вершинами, будут пересекаться, так как они образуют "перекрестие".

Итог

Таким образом, количество способов провести 3 диагонали в правильном 9-угольнике так, чтобы каждая пара из них пересекалась внутри 9-угольника, составляет 126.

Ответ: 126 способов.