В семье 5 детей. Какова вероятность того, что среди них более трех мальчиков, если вероятность рождения мальчика равна 0,51?

Математика 11 класс Комбинаторика и теория вероятностей вероятность рождения мальчика 5 детей в семье более трех мальчиков задача по математике комбинаторика теория вероятностей Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (рождения детей), два возможных исхода (мальчик или девочка) и известная вероятность рождения мальчика.

Шаг 1: Определим параметры задачи.

• Количество детей (n) = 5
• Вероятность рождения мальчика (p) = 0,51
• Вероятность рождения девочки (q) = 1 - p = 0,49

Шаг 2: Определим, что означает "более трех мальчиков".

Это означает, что нас интересуют случаи, когда количество мальчиков (k) равно 4 или 5. То есть, мы хотим найти P(k = 4) + P(k = 5).

Шаг 3: Используем формулу биномиального распределения.

Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит так:

P(k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),

где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, который вычисляется как C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!).

Шаг 4: Вычислим P(k = 4).

• C(5, 4) = 5! / (4! * 1!) = 5
• P(k = 4) = C(5, 4) * (0,51)^4 * (0,49)^1
• P(k = 4) = 5 * (0,51)^4 * (0,49)

Шаг 5: Вычислим P(k = 5).

• C(5, 5) = 5! / (5! * 0!) = 1
• P(k = 5) = C(5, 5) * (0,51)^5 * (0,49)^0
• P(k = 5) = 1 * (0,51)^5

Шаг 6: Подсчитаем вероятности.

• P(k = 4) = 5 * (0,51)^4 * (0,49) ≈ 5 * 0,0675 * 0,49 ≈ 0,165
• P(k = 5) = (0,51)^5 ≈ 0,132

Шаг 7: Найдем общую вероятность.

P(более 3 мальчиков) = P(k = 4) + P(k = 5) ≈ 0,165 + 0,132 = 0,297.

Ответ: Вероятность того, что среди 5 детей будет более трех мальчиков, составляет примерно 0,297 или 29,7%.