В урне находится 15 белых и 5 черных шаров. Если случайным образом отобрать 5 шаров, какова вероятность того, что среди них окажется ровно 3 белых шара?

Математика 11 класс Комбинаторика и вероятность вероятность белые шары черные шары комбинаторика задача по математике выбор шаров случайный отбор 11 класс математика Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для вычисления вероятности. Сначала определим общее количество шаров в урне и необходимые нам значения.

В урне всего 15 белых и 5 черных шаров, что в сумме составляет:

• 15 (белых) + 5 (черных) = 20 (всего шаров).

Теперь мы хотим найти вероятность того, что среди 5 случайно отобранных шаров окажется ровно 3 белых шара. Для этого нам нужно рассмотреть два события:

• Количество белых шаров в отборе, которое равно 3.
• Количество черных шаров в отборе, которое будет равно 2 (так как всего мы отбираем 5 шаров).

Теперь мы можем использовать формулу для вероятности:

Вероятность события = (Число благоприятных исходов) / (Общее число исходов).

Сначала найдем общее число способов выбрать 5 шаров из 20:

• Общее количество способов выбрать 5 шаров из 20: C(20, 5).

Теперь найдем количество способов выбрать 3 белых шара из 15:

• Количество способов выбрать 3 белых шара: C(15, 3).

Также найдем количество способов выбрать 2 черных шара из 5:

• Количество способов выбрать 2 черных шара: C(5, 2).

Теперь мы можем выразить число благоприятных исходов:

• Число благоприятных исходов = C(15, 3) * C(5, 2).

Теперь подставим все значения в формулу для вероятности:

Вероятность = (C(15, 3) * C(5, 2)) / C(20, 5).

Теперь давайте посчитаем каждое из значений:

1. C(20, 5) = 20! / (5! * (20 - 5)!) = 20! / (5! * 15!) = 15504.
2. C(15, 3) = 15! / (3! * (15 - 3)!) = 15! / (3! * 12!) = 455.
3. C(5, 2) = 5! / (2! * (5 - 2)!) = 5! / (2! * 3!) = 10.

Теперь подставим эти значения в формулу:

Число благоприятных исходов = 455 * 10 = 4550.

Теперь можем найти вероятность:

Вероятность = 4550 / 15504.

Теперь упростим дробь:

Вероятность ≈ 0.293 (или 29.3%).

Таким образом, вероятность того, что среди отобранных 5 шаров окажется ровно 3 белых шара, составляет примерно 29.3%.