Давайте последовательно вычислим каждую часть выражения: cos(arcsin(1/3)) - ctg(arctg(2/7)) + tg(arccos(1/2)).

1. Вычислим cos(arcsin(1/3)):
   • Обозначим угол, равный arcsin(1/3). Пусть α = arcsin(1/3). Тогда sin(α) = 1/3.
   • Чтобы найти cos(α), воспользуемся основным тригонометрическим соотношением: sin²(α) + cos²(α) = 1.
   • Подставим sin(α): (1/3)² + cos²(α) = 1.
   • Это дает: 1/9 + cos²(α) = 1.
   • Таким образом, cos²(α) = 1 - 1/9 = 8/9.
   • Следовательно, cos(α) = √(8/9) = 2√2/3 (так как угол α находится в первой четверти, cos будет положительным).
2. Вычислим ctg(arctg(2/7)):
   • Обозначим угол β = arctg(2/7). Тогда tg(β) = 2/7.
   • Согласно определению, ctg(β) = 1/tg(β) = 7/2.
3. Вычислим tg(arccos(1/2)):
   • Обозначим угол γ = arccos(1/2). Тогда cos(γ) = 1/2.
   • Зная cos(γ), найдем sin(γ). Используем основное тригонометрическое соотношение: sin²(γ) + cos²(γ) = 1.
   • Подставим cos(γ): sin²(γ) + (1/2)² = 1.
   • Это дает: sin²(γ) + 1/4 = 1.
   • Следовательно, sin²(γ) = 1 - 1/4 = 3/4, и sin(γ) = √(3/4) = √3/2 (так как угол γ находится в первой четверти).
   • Теперь найдем tg(γ): tg(γ) = sin(γ)/cos(γ) = (√3/2)/(1/2) = √3.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

cos(arcsin(1/3)) - ctg(arctg(2/7)) + tg(arccos(1/2)) = (2√2/3) - (7/2) + √3.

Теперь давайте упростим выражение. Приведем к общему знаменателю:

• Общий знаменатель для дробей 3 и 2 - это 6.
• Перепишем дроби с общим знаменателем:
• (2√2/3) = (4√2/6),
• (7/2) = (21/6).

Теперь подставим:

(4√2/6) - (21/6) + √3 = (4√2 - 21)/6 + √3.

Таким образом, окончательный ответ:

(4√2 - 21)/6 + √3.