Задача по математике:

Дана функция f(X) = lnx/x^3. Нужно:

1. Определить область, в которой функция определена.
2. Вычислить значение функции при X = e.
3. Найти области, где функция положительна и отрицательна.

Помогите, пожалуйста!

Математика 11 класс Исследование функций функция f(x) область определения значение функции X = e положительная область отрицательная область задачи по математике Новый

Давайте поэтапно решим вашу задачу.

1. Определение области, в которой функция определена.

Функция f(X) = ln(x)/x^3 состоит из двух частей: логарифма и дроби. Чтобы функция была определена, необходимо, чтобы аргумент логарифма был положительным, а знаменатель дроби не равен нулю.

• Логарифм ln(x) определён, когда x > 0.
• Дробь x^3 в знаменателе не равна нулю, когда x ≠ 0.

Таким образом, функция f(X) определена при x > 0, то есть область определения: (0, +∞).

2. Вычисление значения функции при X = e.

Теперь подставим x = e в нашу функцию:

f(e) = ln(e)/e^3.

Значение ln(e) равно 1, так как натуральный логарифм числа e равен 1.

Таким образом, мы имеем:

f(e) = 1/e^3.

Это значение можно оставить в таком виде или вычислить численно, если это необходимо. Приблизительно 1/e^3 ≈ 0.04979.

3. Найти области, где функция положительна и отрицательна.

Теперь нам нужно определить, где функция f(X) положительна, а где отрицательна. Для этого рассмотрим знак функции:

f(X) = ln(x)/x^3.

Мы можем проанализировать знак числителя и знаменателя:

• Числитель ln(x) положителен, когда x > 1.
• Числитель ln(x) равен 0, когда x = 1.
• Числитель ln(x) отрицателен, когда 0 < x < 1.
• Знаменатель x^3 всегда положителен для x > 0.

Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:

• f(X) > 0, когда x > 1 (так как числитель положителен и знаменатель положителен).
• f(X) = 0, когда x = 1 (числитель равен 0).
• f(X) < 0, когда 0 < x < 1 (числитель отрицателен, знаменатель положителен).

Итак, подводя итог:

• Область определения функции: (0, +∞).
• Значение функции при X = e: f(e) = 1/e^3.
• Функция положительна на интервале (1, +∞) и отрицательна на интервале (0, 1).