Чтобы решить уравнение sin(2x) - sin(x) = 2cos(x) - 1, сначала упростим его. Используем известные тригонометрические тождества:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Подставим это в уравнение:

2sin(x)cos(x) - sin(x) = 2cos(x) - 1.

Теперь сгруппируем все члены в одну сторону:

2sin(x)cos(x) - sin(x) - 2cos(x) + 1 = 0.

Вынесем sin(x) за скобки:

sin(x)(2cos(x) - 1) - 2cos(x) + 1 = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение. Введем новую переменную:

y = cos(x).

Тогда уравнение примет вид:

sin(x)(2y - 1) - 2y + 1 = 0.

Теперь у нас есть два множителя:

1. sin(x) = 0
2. 2y - 1 - 2y + 1 = 0

Решим первое уравнение:

• sin(x) = 0, значит x = k * 180°, где k - целое число.

Теперь найдем корни на промежутке [-360°, 300°]:

• k = -2: x = -360°
• k = -1: x = -180°
• k = 0: x = 0°
• k = 1: x = 180°
• k = 2: x = 360° (не входит в промежуток).

Итак, корни из первого уравнения: -360°, -180°, 0°, 180°.

Теперь решим второе уравнение:

2cos(x) - 1 = 0.

Отсюда получаем:

cos(x) = 1/2.

Решения для cos(x) = 1/2 на интервале [-360°, 300°:

• x = 60° + k * 360°, где k - целое число.
• x = -60° + k * 360°.

Находим корни:

• k = -1: x = -300°.
• k = 0: x = 60°.
• k = 0: x = -60°.
• k = 1: x = 420° (не входит в промежуток).

Теперь соберем все корни:

• -360°
• -180°
• 0°
• 180°
• -300°
• -60°

Всего корней: 6.

Теперь найдем наименьший отрицательный корень, который равен -360°.

Теперь произведем наименьший отрицательный корень (-360°) на количество всех корней (6):

-360° * 6 = -2160.

Ответ: -2160.