Похожие вопросы
2025-11-11 19:31:37
Задание 4:
Каков объем тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями y = x^2, x = 1, y = 0 и x = 2?
Математика 11 класс Объем тел вращения Объём тела вращение плоской фигуры математика 11 класс интегралы геометрия функции y = x^2 ограниченные линии задачу по математике
2025-11-11 19:31:58
Для нахождения объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси абсцисс, мы будем использовать метод дисков. Давайте разберем решение по шагам.
Шаг 1: Определение границ интегрированияСначала определим границы интегрирования. У нас есть функции:
- y = x^2 (парабола)
- x = 1 и x = 2 (вертикальные линии)
- y = 0 (горизонтальная ось, ось абсцисс)
Мы будем интегрировать от x = 1 до x = 2.
Шаг 2: Формула для объемаОбъем V тела вращения можно найти по формуле:
V = π * ∫[a, b] (f(x))^2 dx
где f(x) — это функция, ограничивающая фигуру, а [a, b] — границы интегрирования.
Шаг 3: Подстановка функции и границВ нашем случае f(x) = x^2. Подставим это в формулу:
V = π * ∫[1, 2] (x^2)^2 dx
Упрощаем:
V = π * ∫[1, 2] x^4 dx
Шаг 4: Вычисление интегралаТеперь найдем интеграл:
∫ x^4 dx = (1/5)x^5 + C
Теперь подставим границы интегрирования:
V = π * [(1/5)(2^5) - (1/5)(1^5)]
Вычислим значения:
2^5 = 32 и 1^5 = 1, тогда:
V = π * [(1/5)(32) - (1/5)(1)] = π * [(32/5) - (1/5)] = π * (31/5)
Шаг 5: Итоговый ответТаким образом, объем тела, образованного вращением заданной фигуры, равен:
V = (31/5)π