Задай вопрос по математике, используя следующий текст:

2. Дан вектор а (2; 1; -2).

а) Известно, что а= EF. Каковы координаты точки Е, если F (4; -1; -2)?

б) Каковы значения m и n, при которых векторы а и b коллинеарны, если b (-4; m; n)?

в) Каковы координаты и модуль вектора с, если с=2а?

3. Даны векторы а (-3; 0; 4) и b (1; -2; 2).

а) Как найти вектор с = 1/2а - 3b?

б) Как найти (а+b)*(a - b)?

в) Как найти косинус угла между векторами а и b?

Математика 11 класс Векторы и их операции вектор а координаты точки Е точка F коллинеарные векторы значения m и n вектор b координаты вектора c модуль вектора c векторы а и b вектор с 1/2а 3b сумма векторов разность векторов косинус угла угол между векторами Новый

Давайте разберем эти задачи шаг за шагом.

2. Дан вектор а (2; 1; -2).

а) Известно, что а = EF. Каковы координаты точки Е, если F (4; -1; -2)?

1. Запишем формулу для вектора EF: EF = F - E.
2. Поскольку EF = а, то имеем: (2; 1; -2) = (4; -1; -2) - E.
3. Из этого следует, что координаты точки Е равны:
   • Ex = 4 - 2 = 2;
   • Ey = -1 - 1 = -2;
   • Ez = -2 + 2 = 0.
4. Таким образом, координаты точки Е: (2; -2; 0).

б) Каковы значения m и n, при которых векторы а и b коллинеарны, если b (-4; m; n)?

1. Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого. Это значит, что существует число k, такое что (2; 1; -2) = k(-4; m; n).
2. Рассмотрим систему уравнений:
   • 2 = -4k;
   • 1 = mk;
   • -2 = nk.
3. Из первого уравнения: k = -0.5.
4. Подставляем k в остальные уравнения:
   • m(-0.5) = 1, отсюда m = -2;
   • n(-0.5) = -2, отсюда n = 4.
5. Итак, m = -2 и n = 4.

в) Каковы координаты и модуль вектора с, если с = 2а?

1. Умножим вектор а на 2: с = 2 * (2; 1; -2) = (4; 2; -4).
2. Найдем модуль вектора с: √(4^2 + 2^2 + (-4)^2) = √(16 + 4 + 16) = √36 = 6.
3. Таким образом, координаты вектора с: (4; 2; -4), а его модуль равен 6.

3. Даны векторы а (-3; 0; 4) и b (1; -2; 2).

а) Как найти вектор с = 1/2а - 3b?

1. Сначала найдем 1/2а: (1/2)*(-3; 0; 4) = (-1.5; 0; 2).
2. Теперь найдем 3b: 3*(1; -2; 2) = (3; -6; 6).
3. Вычтем из 1/2а вектор 3b: (-1.5; 0; 2) - (3; -6; 6) = (-4.5; 6; -4).
4. Итак, вектор с: (-4.5; 6; -4).

б) Как найти (а+b)*(a - b)?

1. Сначала найдем а+b: (-3; 0; 4) + (1; -2; 2) = (-2; -2; 6).
2. Теперь найдем a-b: (-3; 0; 4) - (1; -2; 2) = (-4; 2; 2).
3. Найдем скалярное произведение (а+b)*(a - b): (-2)*(-4) + (-2)*2 + 6*2 = 8 - 4 + 12 = 16.
4. Результат: 16.

в) Как найти косинус угла между векторами а и b?

1. Сначала найдем скалярное произведение векторов а и b: (-3)*1 + 0*(-2) + 4*2 = -3 + 0 + 8 = 5.
2. Найдем модуль вектора а: √((-3)^2 + 0^2 + 4^2) = √(9 + 0 + 16) = √25 = 5.
3. Найдем модуль вектора b: √(1^2 + (-2)^2 + 2^2) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.
4. Косинус угла между векторами: cos(θ) = (а*b) / (|a|*|b|) = 5 / (5*3) = 1/3.
5. Таким образом, косинус угла между векторами а и b равен 1/3.