Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доске, повторяется несколько раз, то на доску оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доску будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

А) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

Б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

В) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Математика 11 класс Комбинаторика математика 11 класс натуральные числа суммы неубывающий порядок примеры чисел набор чисел задачи по математике комбинаторика числовые последовательности выписанные числа повторяющиеся числа условия задачи решение задачи примеры решений числовые наборы свойства чисел анализ чисел задача на комбинаторику Новый

А) Рассмотрим задачу. Нам нужно придумать такие натуральные числа, чтобы их суммы давали набор 2, 4, 6, 8. Обратим внимание, что все числа в этом наборе четные, и самое маленькое – это 2. Это подсказывает, что 2 должно быть в нашем наборе. Если мы добавим 2 несколько раз, например, 2, 2, 2, 2, то получим следующие суммы:

• 2 (само число)
• 2 + 2 = 4
• 2 + 2 + 2 = 6
• 2 + 2 + 2 + 2 = 8

Таким образом, если мы возьмем набор чисел 2, 2, 2, 2, то все числа из заданного набора 2, 4, 6, 8 будут присутствовать. Это и будет наш ответ.

Б) Теперь перейдем ко второй части задачи. Здесь нам нужно выяснить, существуют ли такие задуманные числа, чтобы на доске оказался набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22. Обратите внимание, что число 1 обязательно должно быть в наборе, так как оно является наименьшим. Также заметим, что 22 должно быть суммой всех задуманных чисел. Однако, если мы не возьмем 1, то сумма всех других чисел должна составлять 21, но 21 в нашем наборе отсутствует. Это означает, что такая комбинация чисел, чтобы получить нужный набор, не существует.

В) В последней части задачи мы ищем все примеры задуманных чисел, чтобы на доске был набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52. Начнем с самого низкого числа – 9. Поскольку 10 и 11 идут следом, они тоже должны быть в наборе. Теперь, если мы попробуем подобрать числа, которые дадут нам суммы 19, 20 и 21, мы можем взять 9, 10, 11. Таким образом, суммы будут: 9 + 10 = 19, 9 + 11 = 20, и 10 + 11 = 21. Теперь мы должны учесть, что 22 может быть либо в наборе, либо получено как сумма. Если 22 в наборе, то нам нужны дополнительные числа, чтобы достичь суммы 52. Например, набор 9, 10, 11, 22 будет давать нужную сумму, но не будет других чисел. Однако, если 11 повторяется, например, в наборе 9, 10, 11, 11, 11, то его можно использовать для достижения суммы 52, и в этом случае также будут соблюдены условия задачи. Таким образом, у нас есть два подходящих набора: 9, 10, 11, 22 и 9, 10, 11, 11, 11.