Здравствуйте! Давайте решим данный пример шаг за шагом.
Нам нужно найти четвертую степень корня из комплексного числа (i + sqrt(3)). Для начала, давайте представим это комплексное число в полярной форме.
1. **Находим модуль комплексного числа**:
Модуль комплексного числа z = a + bi определяется как:
|z| = sqrt(a^2 + b^2),
где a - действительная часть, b - мнимая часть.
В нашем случае:
- a = sqrt(3)
- b = 1
Подставим значения:
|z| = sqrt((sqrt(3))^2 + (1)^2) = sqrt(3 + 1) = sqrt(4) = 2.
2. **Находим аргумент комплексного числа**:
Аргумент (угол) определяется как:
arg(z) = arctan(b/a).
Подставляем значения:
arg(z) = arctan(1/sqrt(3)).
Угол, соответствующий этому значению, равен π/6 (или 30 градусов), так как тангенс угла 30 градусов равен 1/sqrt(3).
3. **Записываем комплексное число в полярной форме**:
Теперь мы можем записать наше комплексное число в полярной форме:
z = |z| * (cos(arg(z)) + i*sin(arg(z))) = 2 * (cos(π/6) + i*sin(π/6)).
4. **Находим четвертую степень корня**:
Чтобы найти четвертую степень корня из комплексного числа, мы используем формулу:
z^(1/n) = |z|^(1/n) * (cos((arg(z) + 2kπ)/n) + i*sin((arg(z) + 2kπ)/n)),
где k = 0, 1, 2, ..., n-1 (в нашем случае n=4).
Подставляем значения:
- |z|^(1/4) = 2^(1/4) = sqrt(2).
- arg(z) = π/6.
5. **Находим корни**:
Теперь подставим все в формулу для k = 0, 1, 2, 3:
- Для k = 0:
arg(z) + 2*0*π = π/6,
z_0 = sqrt(2) * (cos(π/24) + i*sin(π/24)).
- Для k = 1:
arg(z) + 2*1*π = π/6 + 2π = 13π/6,
z_1 = sqrt(2) * (cos(13π/24) + i*sin(13π/24)).
- Для k = 2:
arg(z) + 2*2*π = π/6 + 4π = 25π/6,
z_2 = sqrt(2) * (cos(25π/24) + i*sin(25π/24)).
- Для k = 3:
arg(z) + 2*3*π = π/6 + 6π = 37π/6,
z_3 = sqrt(2) * (cos(37π/24) + i*sin(37π/24)).
6. **Записываем результаты**:
Таким образом, четвертые корни из (i + sqrt(3)) будут:
- z_0 = sqrt(2) * (cos(π/24) + i*sin(π/24)),
- z_1 = sqrt(2) * (cos(13π/24) + i*sin(13π/24)),
- z_2 = sqrt(2) * (cos(25π/24) + i*sin(25π/24)),
- z_3 = sqrt(2) * (cos(37π/24) + i*sin(37π/24)).
Это и есть искомые четвертые корни из комплексного числа (i + sqrt(3)). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими примерами, не стесняйтесь спрашивать!
