Здравствуйте. Помогите решить комплексный пример: (i + sqrt(3))^(1/4). Буду благодарен.

Математика 11 класс Комплексные числа комплексный пример решение примера математика 11 класс корень из 3 степень комплексного числа Новый

Здравствуйте! Давайте решим данный пример шаг за шагом.

Нам нужно найти четвертую степень корня из комплексного числа (i + sqrt(3)). Для начала, давайте представим это комплексное число в полярной форме.

1. Находим модуль комплексного числа: Модуль комплексного числа z = a + bi определяется как: |z| = sqrt(a^2 + b^2), где a - действительная часть, b - мнимая часть.

   В нашем случае:

   • a = sqrt(3)
   • b = 1

   Подставим значения: |z| = sqrt((sqrt(3))^2 + (1)^2) = sqrt(3 + 1) = sqrt(4) = 2.

2. Находим аргумент комплексного числа: Аргумент (угол) определяется как: arg(z) = arctan(b/a).

   Подставляем значения: arg(z) = arctan(1/sqrt(3)).

   Угол, соответствующий этому значению, равен π/6 (или 30 градусов), так как тангенс угла 30 градусов равен 1/sqrt(3).

3. Записываем комплексное число в полярной форме: Теперь мы можем записать наше комплексное число в полярной форме: z = |z| (cos(arg(z)) + isin(arg(z))) = 2 (cos(π/6) + isin(π/6)).

4. Находим четвертую степень корня: Чтобы найти четвертую степень корня из комплексного числа, мы используем формулу: z^(1/n) = |z|^(1/n) (cos((arg(z) + 2kπ)/n) + isin((arg(z) + 2kπ)/n)), где k = 0, 1, 2, ..., n-1 (в нашем случае n=4).

   Подставляем значения:

   • |z|^(1/4) = 2^(1/4) = sqrt(2).
   • arg(z) = π/6.

5. Находим корни: Теперь подставим все в формулу для k = 0, 1, 2, 3:

   • Для k = 0: arg(z) + 20π = π/6, z_0 = sqrt(2) (cos(π/24) + isin(π/24)).

   • Для k = 1: arg(z) + 21π = π/6 + 2π = 13π/6, z_1 = sqrt(2) (cos(13π/24) + isin(13π/24)).

   • Для k = 2: arg(z) + 22π = π/6 + 4π = 25π/6, z_2 = sqrt(2) (cos(25π/24) + isin(25π/24)).

   • Для k = 3: arg(z) + 23π = π/6 + 6π = 37π/6, z_3 = sqrt(2) (cos(37π/24) + isin(37π/24)).

6. Записываем результаты: Таким образом, четвертые корни из (i + sqrt(3)) будут:

   • z_0 = sqrt(2) (cos(π/24) + isin(π/24)),
   • z_1 = sqrt(2) (cos(13π/24) + isin(13π/24)),
   • z_2 = sqrt(2) (cos(25π/24) + isin(25π/24)),
   • z_3 = sqrt(2) (cos(37π/24) + isin(37π/24)).

Это и есть искомые четвертые корни из комплексного числа (i + sqrt(3)). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими примерами, не стесняйтесь спрашивать!