Какое наименьшее число будет записано на доске как Таней, так и Тоней, если Таня начинает с числа 44 и каждую минуту увеличивает его на 31, а Тоня начинает с числа 26 и увеличивает своё число на 13?

Математика 6 класс Системы линейных уравнений наименьшее общее число Таня Тоня увеличение на 31 увеличение на 13 математика 6 класс Новый

Чтобы найти наименьшее число, которое будет записано на доске как Таней, так и Тоней, давайте сначала запишем формулы для чисел, которые они будут записывать.

1. Числа, которые записывает Таня:

• Таня начинает с числа 44 и каждую минуту увеличивает его на 31.
• Таким образом, через n минут Таня будет записывать следующее число:
• 44 + 31n, где n – это количество минут.

2. Числа, которые записывает Тоня:

• Тоня начинает с числа 26 и увеличивает своё число на 13 каждую минуту.
• Следовательно, через m минут Тоня будет записывать:
• 26 + 13m, где m – это количество минут.

Теперь нам нужно найти такие n и m, чтобы числа Таня и Тоня были равны:

3. Составим уравнение:

44 + 31n = 26 + 13m

4. Упростим уравнение:

• Переносим 26 на левую сторону:
• 44 - 26 + 31n = 13m
• 18 + 31n = 13m

5. Теперь выразим m через n:

13m = 31n + 18

m = (31n + 18) / 13

6. Чтобы m было целым числом, 31n + 18 должно делиться на 13. Найдем, когда это выполняется:

7. Найдем остаток от деления 31n + 18 на 13:

• 31 mod 13 = 5 (так как 31 = 2 * 13 + 5)
• 18 mod 13 = 5 (так как 18 = 1 * 13 + 5)
• Таким образом, 31n + 18 mod 13 = (5n + 5) mod 13.

8. Чтобы 5n + 5 делилось на 13, приравняем это к 0:

5n + 5 ≡ 0 (mod 13)

5n ≡ -5 (mod 13)

5n ≡ 8 (mod 13) (так как -5 + 13 = 8)

9. Теперь найдем n, которое удовлетворяет этому уравнению. Для этого найдем обратное число к 5 по модулю 13. Обратное число к 5 по модулю 13 – это 8, так как 5 * 8 = 40 ≡ 1 (mod 13).

10. Умножаем обе стороны на 8:

n ≡ 8 * 8 (mod 13)

n ≡ 64 (mod 13)

n ≡ 12 (mod 13)

11. Это значит, что n может принимать значения 12, 25, 38 и так далее (n = 12 + 13k, где k – любое неотрицательное целое число).

12. Подставим n = 12 в формулу для Тани:

44 + 31 * 12 = 44 + 372 = 416.

13. Теперь найдем m:

m = (31 * 12 + 18) / 13 = (372 + 18) / 13 = 390 / 13 = 30.

14. Подставим m = 30 в формулу для Тони:

26 + 13 * 30 = 26 + 390 = 416.

Итак, наименьшее число, которое будет записано на доске как Таней, так и Тоней, равно 416.