Валера из числителя вычитает 4, а из знаменателя — 3. Например, дробь 8/6 он сократил так: 8/6 = (8 - 4)/(6 - 3) = 4/3. Алина из числителя вычитает 5, а из знаменателя — 2. Например, дробь 10/4 она сократила так: 10/4 = (10 - 5)/(4 - 2) = 5/2. Валера и Алина решили вместе сократить дробь 644/645 в десять действий, причём каждый придерживался своих правил. В результате они получили дробь со знаменателем 618. Найди числитель этой дроби, учитывая, что ребята преобразовывали её не по очереди.
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с действиями Валеры и Алины и их влиянием на дробь.
1. **Действия Валеры**:
- Валера вычитает 4 из числителя и 3 из знаменателя. Это означает, что каждое его действие можно записать как:
(числитель - 4) / (знаменатель - 3).
2. **Действия Алины**:
- Алина вычитает 5 из числителя и 2 из знаменателя. Каждое её действие можно записать как:
(числитель - 5) / (знаменатель - 2).
Теперь у нас есть дробь 644/645, и они в итоге получили дробь со знаменателем 618. Это значит, что сумма изменений в знаменателе должна составить 645 - 618 = 27.
3. **Изменение знаменателя**:
- Каждый раз, когда Валера сокращает дробь, он уменьшает знаменатель на 3.
- Каждый раз, когда Алина сокращает дробь, она уменьшает знаменатель на 2.
Пусть x — количество действий Валеры, а y — количество действий Алины. Мы знаем, что x + y = 10 (всего 10 действий) и 3x + 2y = 27 (изменение знаменателя).
Теперь у нас есть система уравнений:
- x + y = 10
- 3x + 2y = 27
4. **Решим систему уравнений**:
- Из первого уравнения выразим y:
y = 10 - x.
- Подставим y во второе уравнение:
3x + 2(10 - x) = 27.
- Раскроем скобки:
3x + 20 - 2x = 27.
- Упростим:
x + 20 = 27.
- Переносим 20 в правую часть:
x = 27 - 20 = 7.
- Теперь подставим x обратно в первое уравнение, чтобы найти y:
y = 10 - 7 = 3.
Итак, Валера сделал 7 действий, а Алина — 3.
5. **Теперь найдем, как изменился числитель**:
- Изменение числителя от действий Валеры: он вычитает 4 за каждое из 7 действий, то есть 4 * 7 = 28.
- Изменение числителя от действий Алины: она вычитает 5 за каждое из 3 действий, то есть 5 * 3 = 15.
Таким образом, общее изменение числителя:
- 644 - 28 - 15 = 644 - 43 = 601.
6. **Ответ**:
Числитель дроби, которую получили Валера и Алина, равен 601.
Итак, ответ: 601.