Чтобы доказать, что числа 308 и 585 являются взаимно простыми, нам нужно показать, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это значит, что у них нет общих делителей, кроме 1.

Мы можем использовать метод деления с остатком, известный как алгоритм Евклида. Давайте рассмотрим шаги этого алгоритма:

1. Первый шаг: Находим остаток от деления большего числа на меньшее. В нашем случае 585 > 308.
2. Делим 585 на 308:
• 585 делим на 308, получаем 1 (целая часть).
• Теперь находим остаток: 585 - 1 * 308 = 585 - 308 = 277.
3. Второй шаг: Теперь повторяем процесс, но делим 308 на 277.
4. 308 делим на 277:
• 308 делим на 277, получаем 1 (целая часть).
• Остаток: 308 - 1 * 277 = 308 - 277 = 31.
5. Третий шаг: Теперь делим 277 на 31.
6. 277 делим на 31:
• 277 делим на 31, получаем 8 (целая часть).
• Остаток: 277 - 8 * 31 = 277 - 248 = 29.
7. Четвертый шаг: Теперь делим 31 на 29.
8. 31 делим на 29:
• 31 делим на 29, получаем 1 (целая часть).
• Остаток: 31 - 1 * 29 = 31 - 29 = 2.
9. Пятый шаг: Теперь делим 29 на 2.
10. 29 делим на 2:
• 29 делим на 2, получаем 14 (целая часть).
• Остаток: 29 - 14 * 2 = 29 - 28 = 1.
11. Шестой шаг: Теперь делим 2 на 1.
12. 2 делим на 1:
• 2 делим на 1, получаем 2 (целая часть).
• Остаток: 2 - 2 * 1 = 2 - 2 = 0.

Когда остаток становится равным 0, последнее ненулевое значение остатка и есть НОД. В нашем случае, последнее ненулевое значение остатка равно 1.

Таким образом, НОД(308, 585) = 1, что означает, что числа 308 и 585 являются взаимно простыми.