Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел с помощью разложения на простые множители, следуем следующим шагам:

Начнем с разложения каждого числа на простые множители.

• 15 = 3 × 5
• 20 = 2² × 5
• 75 = 3 × 5²

• 150 = 2 × 3 × 5²
• 180 = 2² × 3² × 5
• 315 = 3² × 5 × 7

Чтобы найти НОД, берем произведение всех простых множителей, которые встречаются во всех числах, с наименьшими степенями.

• Общие множители: 5
• Наименьшая степень: 5¹

Таким образом, НОД(15, 20, 75) = 5.

• Общие множители: 3 и 5
• Наименьшие степени: 3¹ и 5¹

Таким образом, НОД(150, 180, 315) = 3¹ × 5¹ = 3 × 5 = 15.

Чтобы найти НОК, берем произведение всех простых множителей, которые встречаются хотя бы в одном из чисел, с наибольшими степенями.

• Множители: 2¹, 3¹, 5²

Таким образом, НОК(15, 20, 75) = 2¹ × 3¹ × 5² = 2 × 3 × 25 = 150.

• Множители: 2², 3², 5², 7¹

Таким образом, НОК(150, 180, 315) = 2² × 3² × 5² × 7¹ = 4 × 9 × 25 × 7 = 6300.

• НОД(15, 20, 75) = 5
• НОК(15, 20, 75) = 150
• НОД(150, 180, 315) = 15
• НОК(150, 180, 315) = 6300