Какое наименьшее количество солдат могло быть, если при построении в колонну по 4, 5 или 6 человек один оставался лишним, а при построении по 7 человек лишних не было?

Математика 7 класс Системы линейных уравнений наименьшее количество солдат построение в колонну остаток при делении задачи на делимость математика 7 класс Новый

Для решения этой задачи нам нужно найти наименьшее число солдат, которое удовлетворяет следующим условиям:

• При делении на 4, 5 и 6 в остатке остается 1.
• При делении на 7 остатка нет.

Обозначим количество солдат за x. Первое условие можно записать как:

• x ≡ 1 (mod 4)
• x ≡ 1 (mod 5)
• x ≡ 1 (mod 6)

Это означает, что число x при делении на 4, 5 и 6 дает в остатке 1. Следовательно, x - 1 должно быть кратно 4, 5 и 6. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел:

1. Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60.
2. Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60.
3. Кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60.

Наименьшее общее кратное для 4, 5 и 6 — это 60. Значит, x - 1 должно быть кратно 60, т.е.:

x - 1 = 60k, где k — целое число. Следовательно, x = 60k + 1.

Теперь применим второе условие: x должно делиться на 7. Подставим выражение для x:

60k + 1 ≡ 0 (mod 7).

Теперь найдем, чему равно 60 по модулю 7:

60 делим на 7, получаем 60 = 7 * 8 + 4, значит, 60 ≡ 4 (mod 7).

Следовательно, у нас есть уравнение:

4k + 1 ≡ 0 (mod 7).

Это можно переписать как:

4k ≡ -1 (mod 7) или 4k ≡ 6 (mod 7).

Теперь найдем обратный элемент к 4 по модулю 7. Проверяем:

• 4 * 1 ≡ 4 (mod 7)
• 4 * 2 ≡ 1 (mod 7)

Обратный элемент к 4 по модулю 7 — это 2. Умножим обе стороны уравнения на 2:

k ≡ 12 (mod 7) или k ≡ 5 (mod 7).

Наименьшее положительное значение k — это 5. Подставим его в выражение для x:

x = 60 * 5 + 1 = 300 + 1 = 301.

Таким образом, наименьшее количество солдат, которое удовлетворяет всем условиям, равно 301.